A 信号的 z 变换

A1 z 变换及其反变换

A1-1 z 变换的定义

• 对离散信号 $x[n]$ 的 $z$ 变换定义如下。

  $$ X(z) = \sum_{n=-\infin}^{+\infin} x[n] z^{-n}, \ \ \ z \in D_{ROC} $$

  • 其中 $z$ 为复变量，比如可以写作 $z = {\rm Re}(z) + {\rm jIm} (z) = |z| {\rm e}^{{\rm j} {\rm arg}(z) }$。

A1-2 z 变换的收敛域

• $D_{ROC}$ 为 $X(z)$ 这个幂级数的收敛域，只有 $z$ 取值在此收敛域内时，$z$ 变换才有意义。收敛的具体定义为：

  $$ |X(z)| = \left| \sum_{n=-\infin}^{+\infin} x[n] z^{-n} \right| < +\infin $$

• 根据复变函数理论，可以知道收敛与否仅仅决定于 $z$ 的幅值 $|z|$。因此 ROC 只可能是整个平面，或者圆，或者圆环，或者就不存在。

• 收敛域分类与序列类型息息相关。

  • 右边序列： $|z| > r_1$（因果序列）。
    • 或者说 $\forall \ n<0 , x(n) = 0$ 则有 ROC 包含 $\infin$。
    • 或者说 $\exist \ n > 0, x(n) \ne 0$ 则 ROC 不包含 $0$。
  • 左边序列： $|z| < r_2$ 。
    • 或者说 $\forall \ n > 0, x(n)=0$ 则有 ROC 包含 $0$。
    • 或者说 $\exist \ n < 0, x(n) \ne 0$ 则 ROC 不包含 $\infin$。
  • 双边序列： $r_1 < |z| < r_2$。
  • 有限长序列： $0 < |z| < \infin$ 。

• 相同 $z$ 变换表达式，但不同 ROC，可能对应回不同序列。只有 $z$ 变换表达式和 ROC 都同，才能判定原序列相等。

A1-3 z 变换的反变换

• 其实有很多方法，具体方式请参见：

  2.4 Z变换

• 主要是围线积分法，通过下面的公式：

  $$ x[n] = \frac 1 {2\pi {\rm j}} \oint_C X(z) z^{n-1} {\rm d} z $$

  • 其中， $C$ 是一条逆时针方向环绕原点的围线。基本上在 ROC 内找一个合理的闭曲线就行，一般用单位圆。

  推导

  根据复变函数中柯西定理（反正下面公式是成立的）：

  

  根据上述公式，给 $z^{k-1}$ 加上系数 $X(z)$

  

  

A2 常用序列的 z 变换；z 变换的有理函数表示

A2-1 有限长序列的 z 变换

• 定义计算可以得到：

  $$ \delta(n) \longleftrightarrow 1 \ \ \ (|z| \ge 0) $$

• 但如果有正序列值，即但凡带 $z^{-k}$ 的，都不能取 $0$ 。

  $$ \delta(n-k) \longleftrightarrow z^{-k} \ \ \ (|z| >0) \ \ \ (k > 0) $$

A2-2 单边指数函数的 z 变换

$$ a^n u(n) \longleftrightarrow \frac{z}{z-a} \ \ \ (|z| > a) \\ -b^{n} u(-n-1) \longleftrightarrow \frac{z}{z-b} \ \ \ (|z| < b) $$

• $a$ 或 $b$ 取 $1$ 时，为单边无穷长窗函数。

A2-S z 变换的有理函数表示

• 一般 $z$ 变换可表示为有理函数，其中 $P(z)$ 和 $Q(z)$ 均为有理函数：

  $$ X(z) = \frac {P(z)}{Q(z)} $$

  • 使得分子多项式 $P(z) = 0$ 的 $z$ 值为 $X(z)$ 的零点；
  • 使得分母多项式 $Q(z) = 0$ 的 $z$ 值为 $X(z)$ 的极点；
    • ROC 中当然不包括极点（会发散），可以借助极点位置界定收敛域边界。

A3 z 变换的性质

A3-01 线性性质

• 略。

A3-02 移位性质

$$ x(n-m) \longleftrightarrow X(z) z^{-m} $$

• 移位不改变 ROC。

• 如果是单边 $Z$ 变换，需要特殊处理被右移移位移出来的那些和左移移位消掉的那些。比如右移出来的那些：

  

  <aside> 📌 比如解差分方程时。

  比如：$y(n)-ay(n-1)-by(n-2)=u(n)$

  $y(-2)=1, \ \ \ y(-1)=-1, \ \ \ \forall n<-2, \ y(n)=0$

  解第一步：Z 变换得：

  $$ Y(z) -a(Y(z) z^{-1} + y(-1)) - b(Y(z)z^{-2} + y(-1)z^{-1} + y(-2)) = \cdots $$

  </aside>

A3-03 指数加权 / z 域尺度变换

• 乘上 $a^n$ 相当于对信号进行一个指数性质的压缩 / 扩张，而对 $z$ 域而言，是缩小 / 放大。

  $$ a^nx(n) \longleftrightarrow X(\frac za), \ \ \ \ \ |a|r_- < |z| < |a|r_+ $$

  • $a$ 还可以是复数，增加旋转的性质，在此不详细展开。

A3-04 线性加权 / z 域微分

$$ nx(n) \longleftrightarrow -z \frac{{\rm d}X(z)}{{\rm d} z}, \ \ \ \ \ r_- < |z| < r_+ $$

• 推论：

  $$ n^lx(n) \longleftrightarrow -z^l \frac{{\rm d^l}X(z)}{{\rm d} z^l}, \ \ \ \ \ r_- < |z| < r_+ $$

A3-05 翻折

$$ x(-n) \longleftrightarrow X\left(\frac 1z\right), \ \ \ \ \ 1/r_- < |z| < 1/r_+ $$

A3-06 共轭

$$ x^(n) \longleftrightarrow X^(z^*), \ \ \ \ \ r_- < |z| < r_+ $$

A3-07 累加

• 条件：$x(\cdot)$ 为因果序列， $z$ 域满足 $|z| > r_-$ 。

  $$ \sum_{i=0}^{n}x(i) \longleftrightarrow \frac z{z-1}X(z), \ \ \ \ \ |z| > \max \{ r_-, 1 \} $$

A3-08 时域卷积

• 时域作卷积相当于 $z$ 域作相乘，但是 ROC 需要取两个函数之间的交集。

A3-09 初值、终值定理