$$ Z[x(n)] = X(z) = \sum_{n = -\infin}^{+\infin} x(n) z^{-n} $$
$z$ 为复变量。
$$ z = {\rm Re}(z) + {\rm jIm} (z) = |z| {\rm e}^{{\rm j} {\rm arg}(z) } $$
使得 Z 变换收敛（即$X(z)$ 存在）的 $z$ 值的集合为收敛域（ROC）。确定表达式的时候必须写出收敛域。收敛的充要条件是绝对可和。
并非所有序列都存在 Z 变换。
相同 Z 变换表达式，但不同收敛域，可能对应回不同序列。只有表达式和收敛域都同才能判定原序列相等
比如左边和右边的指数信号不同，但结果相同。
一般 Z 变换可表示为有理函数：
$$ X(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} $$
使得分子多项式 $P(z) = 0$ 的 $z$ 值为 $X(z)$ 的零点；
使得分母多项式 $Q(z) = 0$ 的 $z$ 值为 $X(z)$ 的极点；
收敛域中无极点，并且可以用极点位置界定收敛域边界。
如果 $x(n)$ 为实信号，那么根据收敛条件：
根据复变函数理论，可以知道收敛域仅仅决定于模值 $|z| = \rho$ 。幂级数的收敛域 ROC 为 Z 平面上的环状区域 $r_1 < |z| < r_2$ ，极点不仅可能在两个圆方程上（注意极点的意思是一些特定的分母多项式的根（如 $(z-2)(z-j)$ 时的 $2, j$），而不是接连出现在圆上的），也可能出现在别的地方。$r_1, r_2$ 称为极点半径。