一、矩阵与线性变换

1. 线性变换的几何意义

线性变换具有如下特征：

• 原点不变。
• 空间中的任意直线，变换后仍是直线。

2. 矩阵代表的线性变换（基变换）

考虑下式可以知道，$\boldsymbol A$ 是一个试图以各列向量为「准基（因为不一定线性无关）」进行线性组合张成空间的变换。

$$ \boldsymbol A \boldsymbol x = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots \boldsymbol \alpha_C) \boldsymbol x = x_1 \boldsymbol \alpha_1 + x_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + x_C \boldsymbol \alpha_C $$

因而线性组合的结果即 $\boldsymbol A \boldsymbol x$ 一定落在 $\boldsymbol A$ 的列空间中。

因为任何空间由其基向量决定，考虑 $\boldsymbol x$ 属于的变换前全空间 $\R^C$ 的基底即 $\boldsymbol E _C$，基底变换后的结果是 $\boldsymbol A \boldsymbol E_C = \boldsymbol A$，因而 $\R^C$ 空间中各个基向量将变换成 $\boldsymbol A$ 的各个列向量，相应地，变换前全空间 $\R^C$ 中的向量 $\boldsymbol x$ 表示坐标，原来是 $\boldsymbol E_C$ 下的坐标，变换后将变成各个列向量的相同组合。

矩阵的乘法既可以视为变换的组合，也可以视为对向量组的变换，二者是一样的。

另外，可以将左乘矩阵考虑为基变换。在给定某基 $\boldsymbol B$ 下任意坐标 $\boldsymbol x$ 的表现，转移到标准基 $\boldsymbol E$ 下的坐标，就是 $\boldsymbol y = \boldsymbol B \boldsymbol x$。

• 矩阵的逆：要将我们的标准基 $\boldsymbol E$ 下表示的某坐标 $\boldsymbol v$ 转换为给定某基 $\boldsymbol B$ 下，即为 $\boldsymbol u = \boldsymbol B^{-1} \boldsymbol v$。

• 夹心糖：以此为前提，比如说本来有个变换 $\boldsymbol A$ 是在标准基 $\boldsymbol E$ 下表述的，但是现在说是施加到 $\boldsymbol B$ 基上，此时的变换需要先转过来做变换再转回去，做的是 $\boldsymbol y = \boldsymbol B^{-1} \boldsymbol A \boldsymbol B \boldsymbol x$。

  

  

  

3. 矩阵相关概念的几何意义

a. 方阵的行列式

• 将方阵 $\boldsymbol A$ 视为对空间进行的线性变换，$\det \boldsymbol A$ 的意义：
  • 二阶行列式的意义是二维空间变换对面积上做的缩放倍数（可以考虑单位正交基的变化）。
  • 三阶行列式的意义是三维空间变换对体积做的缩放倍数。
  • 高阶同理。
• 行列式的正负性：
  • 如果行列式为零，说明被降维了。如三维体积被压缩为 0，说明降成二维、一维甚至零维。
  • 请注意行列式的其正负指的是一种方向性。

b. 方阵的逆矩阵

• 如果行列式不为 0，说明此变换不降维，存在唯一的逆变换。
• 逆矩阵即为原方阵的逆变换，如已知变换后的向量 $\boldsymbol y = \boldsymbol A \boldsymbol x$，则能从其倒过来对应得到变换前的向量 $\boldsymbol x = \boldsymbol A^{-1} \boldsymbol y$。

c. 非齐次线性方程组

• $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 即求解变换后能够变成已知向量 $\boldsymbol b$ 的 $\boldsymbol x$。
• 如果不降秩，那么能找到唯一对应量。
• 如果降秩，就要看 $\boldsymbol b$ 是否落在降秩之后的结果空间中（比较罕见）。

d. 点积

• 向量做点积 $\boldsymbol x^{\rm T} \boldsymbol y$ 时，左边的 $\boldsymbol x^{\rm T}$ 可以看成一个线性变换 $\R^N \to \R$，将 $N$ 长向量 $\boldsymbol y$ 转移为一个实数。

4. 四个基本子空间的关系

若将矩阵 $\boldsymbol A_{R\times C}$ 视为一种对 $C$ 长列向量 $\boldsymbol x$ 进行的右乘变换即 $\boldsymbol y = \boldsymbol A \boldsymbol x$，那么它是一种 $\boldsymbol A: \R ^C \to \R^R$ 的变换，关系如图。