✅ 一、矩阵（matrix）概念

概念：矩阵 $\boldsymbol A_{N\times M}$（$N$ 行 $M$ 列），零矩阵 $\boldsymbol O$，单位矩阵（unit matrix）$\boldsymbol E$ 或 $\boldsymbol I$。
- 方阵（square matrix），对角矩阵（diagonal matrix）$\boldsymbol \Lambda$，同型矩阵（行数列数都相等）。
概念：向量 $\boldsymbol a$，零向量 $\boldsymbol 0$。

✅⭐⭐ 二、矩阵运算

1. 矩阵线性运算

加法、数乘。
- 衍生：负矩阵、减法。

2. 矩阵乘法

矩阵乘法的定义

$$ \left\{\begin{align*} y_1 &= a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1N} x_N \\ y_2 &= a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2N} x_N \\ & \ \ \vdots \\ y_N &= a_{N1} x_1 + a_{N2} x_2 + \cdots + a_{NN} x_N \\ \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} z_1 &= b_{11} y_1 + b_{12} y_2 + \cdots + b_{1N} y_N \\ z_2 &= b_{21} y_1 + b_{22} y_2 + \cdots + b_{2N} y_N \\ & \ \ \vdots \\ z_N &= b_{N1} y_1 + b_{N2} y_2 + \cdots + b_{NN} y_N \\ \end{align*}\right. \\

\boldsymbol y = \boldsymbol A \boldsymbol x, \ \ \boldsymbol z = \boldsymbol B \boldsymbol y

$$

可以根据矩阵乘法原理结合，把第一式中的 $\boldsymbol y_i$ 代入到第二式中，即等同于：

$$ \left\{\begin{align*}

z_1 &= b_{11} (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1N} x_N ) + b_{12} (a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2N} x_N) + \cdots + b_{1N} (a_{N1} x_1 + a_{N2} x_2 + \cdots + a_{NN} x_N) \\

z_2 &= b_{21} (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1N} x_N ) + b_{22} (a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2N} x_N) + \cdots + b_{2N} (a_{N1} x_1 + a_{N2} x_2 + \cdots + a_{NN} x_N) \\

& \ \ \vdots \\

z_N &= b_{N1} (a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1N} x_N ) + b_{N2} (a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2N} x_N) + \cdots + b_{NN} (a_{N1} x_1 + a_{N2} x_2 + \cdots + a_{NN} x_N) \\

\end{align*}\right. $$

整理得：

$$ \left\{\begin{align*}

z_1 &= (b_{11} a_{11} + b_{12}a_{21} + \cdots b_{1N}a_{N1})x_1 + (b_{11} a_{12} + b_{12}a_{22} + \cdots b_{1N}a_{N2})x_2 + \cdots + (b_{11} a_{1N} + b_{12}a_{2N} + \cdots b_{1N}a_{NN})x_N \\

z_2 &= (b_{21} a_{11} + b_{22}a_{21} + \cdots b_{2N}a_{N1})x_1 + (b_{21} a_{12} + b_{22}a_{22} + \cdots b_{2N}a_{N2})x_2 + \cdots + (b_{21} a_{1N} + b_{22}a_{2N} + \cdots b_{2N}a_{NN})x_N \\

& \ \ \vdots \\

z_N &= (b_{N1} a_{11} + b_{N2}a_{21} + \cdots b_{NN}a_{N1})x_1 + (b_{N1} a_{12} + b_{N2}a_{22} + \cdots b_{NN}a_{N2})x_2 + \cdots + (b_{N1} a_{1N} + b_{N2}a_{2N} + \cdots b_{NN}a_{NN})x_N \\

\end{align*}\right. $$

记为：

$$ \boldsymbol z = \boldsymbol B \boldsymbol A \boldsymbol x, \ \ (\boldsymbol B \boldsymbol A){u, v} = \sum{s=1}^{N} b_{us} a_{sv} $$

推广到非方阵：

$$ \boldsymbol B_{N\times S} \boldsymbol A_{S\times M} = (\boldsymbol B \boldsymbol A){N\times M}, \ \ \ (\boldsymbol B \boldsymbol A){u, v} = \sum_{s=1}^{S} b_{us} a_{sv} $$
矩阵乘法的性质：
- 结合律（associative law）：$(\boldsymbol A \boldsymbol B) \boldsymbol C = \boldsymbol A (\boldsymbol B \boldsymbol C)$。
- 分配律（distributive law）：$(\boldsymbol A + \boldsymbol B) \boldsymbol C = \boldsymbol A \boldsymbol C + \boldsymbol B \boldsymbol C$，对右侧同理。
- 两种乘法的结合律：$k(\boldsymbol A \boldsymbol B) = (k \boldsymbol A) \boldsymbol B = \boldsymbol A (k \boldsymbol B)$。
- 同左乘（left multiplication） / 同右乘（right multiplication）：
  - 如有 $\boldsymbol A = \boldsymbol B$，一定有 $\boldsymbol C \boldsymbol A = \boldsymbol C \boldsymbol B$ 和 $\boldsymbol A \boldsymbol C = \boldsymbol B \boldsymbol C$。
矩阵乘法不具备的性质：
- 【不满足】交换律（commutative law），不保证 $\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol B \boldsymbol A$。
  - 如满足 $\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol B \boldsymbol A$，称二者为可交换的。
- 【不满足】消去律（cancellation law）：
  - 如有 $\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol O$，不能保证 $\boldsymbol A = \boldsymbol O$ 或 $\boldsymbol B = \boldsymbol O$。
- 此二者的经典例子：
  
  $$ \boldsymbol A \boldsymbol B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \boldsymbol B \boldsymbol A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $$

3. 方阵的方幂（power）

方幂的定义：

$$ \boldsymbol A^k = \underbrace{\boldsymbol A\boldsymbol A \cdots \boldsymbol A}_{k 个} $$

方幂的性质：

$\boldsymbol A^{k} \boldsymbol A^{l} = \boldsymbol A^{kl}$
$(\boldsymbol A^{k})^{l}=\boldsymbol A^{kl}$
【不满足】$(\boldsymbol A \boldsymbol B)^{k} = \boldsymbol A^{k} \boldsymbol B^{k}$，因为不满足交换律，只能顺次来。

4. 矩阵的转置（transpose）

转置的运算律：

$(\boldsymbol A^{\rm T})^{\rm T} = \boldsymbol A$
$(\boldsymbol A+ \boldsymbol B)^{\rm T} = \boldsymbol A^{\rm T} + \boldsymbol B^{\rm T}$
$(k \boldsymbol A)^{\rm T} = k \boldsymbol A^{\rm T}$
【重要】$(\boldsymbol B \boldsymbol A)^{\rm T} = \boldsymbol A^{\rm T} \boldsymbol B^{\rm T}$，更多项也可以逆过来。

对称矩阵（symmetric matrix）：$\boldsymbol A^{\rm T} = \boldsymbol A$

反对称矩阵（antisymmetric matrix）：$\boldsymbol A^{\rm T} = -\boldsymbol A$