一、线性空间

1. 线性空间的定义

对于非空集合 $V$ 和数域 $P$（数域指的是对四则运算的结果都封闭的数的集合，如 ${\mathbb Q}$（有理数域）是最小的数域，还有 $\R, {\mathbb C}$ 等数域）：

• 定义加法 $\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta$：如果对于任意 $\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$，总有唯一的 $\boldsymbol \gamma \in V$ 与之对应，称其为「和」，记为 $\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta = \boldsymbol \gamma$（加法封闭性）。
• 定义数乘 $k \boldsymbol \alpha$：如果对于任意 $\boldsymbol \alpha \in V, k \in P$，总有唯一的 $\boldsymbol \delta \in V$ 与之对应，称其为「数量积」，记为 $k \boldsymbol \alpha = \boldsymbol \delta$（乘法封闭性）。
• 而且上述加法和数乘满足如下 8 个运算规律：
  1. 加法交换律：$\forall \ \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V, \ \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta + \boldsymbol \alpha$。
  2. 加法结合律：$\forall \ \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma \in V, \ (\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) + \boldsymbol \gamma = \boldsymbol \alpha + (\boldsymbol \beta + \boldsymbol \gamma)$。
  3. 加法的幺元（即线性空间的零元）存在：$\exist \ \boldsymbol \delta \in V, \ {\rm s.t.} \ \forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \delta = \boldsymbol \alpha$
     • 可证零元是唯一的，记为 $\boldsymbol \delta = \boldsymbol 0$。
  4. 加法的逆元（即线性空间的负元）存在：$\forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \ \exist \ \boldsymbol \eta \in V, \ {\rm s.t.} \ \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \eta = \boldsymbol 0$
     • 可证元素的负元是唯一的，记为 $\boldsymbol \eta = -\boldsymbol \alpha$。
  5. 数乘的左幺元存在，且为 1：$\forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \ 1 \boldsymbol \alpha = \boldsymbol \alpha$。
  6. 数乘的左结合律存在：$\forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \forall \ k, l \in P , \ k(l \boldsymbol \alpha) = (kl)\boldsymbol \alpha$。
  7. 数乘的左分配律存在：$\forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \forall \ k, l \in P , \ (k+l) \boldsymbol \alpha = k\boldsymbol \alpha + l\boldsymbol \alpha$。
  8. 数乘的右分配律存在：$\forall \ \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V, \forall \ k \in P , \ k (\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) = k\boldsymbol \alpha + k\boldsymbol \beta$。

那么，称 $V$ 为 $P$ 上的线性空间（向量空间），其中元素可称为向量。

• 如果 $P$ 为 $\R$，则称为实线性空间和实向量。下面一般讨论这种。
• 如果 $P$ 为 ${\mathbb C}$，则称为复线性空间和复向量。

2. 线性空间的基本性质

线性空间 $V$ 的基本性质：

1. 线性空间的零元唯一（记为 $\boldsymbol 0$）。
2. 元素的负元对于给定元素 $\boldsymbol \alpha$ 唯一，而且就是 $(-1)\boldsymbol \alpha$（记为 $-\boldsymbol \alpha$）。
3. ① $\forall \ \boldsymbol \alpha \in V, \ 0\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0$；② $\forall \ k \in \R, \ k \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$；③ 如果 $k \boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0$ ，则 $k=0$ 或 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0$。

3. 线性空间的一些例子

方括号内依次表示：【元素，可推出零元，可推出负元】：

• 同大小向量的全集 $\R^n$，定义向量加法与向量数乘【$\boldsymbol \alpha, \boldsymbol 0, -\boldsymbol \alpha$】。

• 同大小矩阵的全集 $\R^{n \times m}$，定义矩阵加法与矩阵数乘【$\boldsymbol A, \boldsymbol O, -\boldsymbol A$】。称其为矩阵空间。

• 次数小于等于 $n$ 的实系数多项式全集 $\R^n[x]$：

  $$ \R^n[x] = \{

  a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

  \ | \ a_0, a_1, \cdots, a_n \in \R

  \} $$

  ，定义多项式加法和多项式数乘【$P[x], 0, -P[x]$】。

• 全体正实数 $\R^+$，定义加法运算 $a \oplus b = ab$ 和数乘运算 $k \otimes a = a^k$【$a, 1, 1/a$】。

• 全体 $n$ 维复向量的集合 ${\mathbb C}^n$ 可以是定义在 ${\mathbb C}$ 上的线性空间。

二、线性空间的子空间

1. 线性空间的子空间

i. 线性空间 $V$ 的子空间的定义：

• 对于 $W \subseteq V \ (W \neq \varnothing)$，如果 $W$ 对于 $V$ 中定义的加法与数乘也构成线性空间，称 $W$ 为 $V$ 的子空间。

ii. 对于线性空间 $V$ 的非空子集 $W$，后者为前者子空间的充分必要条件：

• $W$ 对于 $V$ 中定义的加法与数乘封闭，即 $\forall \ \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in W , \forall \ k \in \R, \ \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta \in W, k\boldsymbol \alpha \in W$。

iii. 子空间的基本性质：

• $W$ 是 $V$ 的子空间，那么 $\dim W \le \dim V$。

iv. 线性空间拥有两个平凡子空间：

• $V$ 即自身，是最大的子空间。
• $\{\boldsymbol 0\}$ 即零维空间（zero space） / 零空间。是最小的子空间。

v. 元素组生成的子空间：

• 对于线性空间中的元素组 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m$，其能线性组合成的所有元素 $\boldsymbol\alpha = \lambda_1 \boldsymbol \alpha_1 + \lambda_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + \lambda_m \boldsymbol \alpha_m$ 构成的空间，为其生成子空间。记为 ${\rm Span} (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m)$。

2. 子空间之间的运算

i. 子空间的交与和：

• 交空间：$V^n$ 两个子空间集合的交 $V_1 \cap V_2$ 仍也是 $V$ 的子空间，称为交空间。
• 然而 $V^n$ 两个子空间集合的并 $V_1 \cup V_2$ 很可能不是一个线性空间。考虑 $x, y$ 轴上的元素，并起来只是两条直线罢了，并不能张成 $xOy$ 平面。你可能在找下面这种「和空间」。
• 和空间：$V^n$ 两个子空间 $V_1, V_2$ 的和空间定义为 $V_1 + V_2 = \{ \boldsymbol x + \boldsymbol y \ | \ \boldsymbol x \in V_1, \boldsymbol y \in V_2 \}$，它仍是 $V$ 的子空间，且可以说是由两个子空间所「张成」的空间。

ii. 子空间交与和的维数关系式（同二集合容斥公式）：

$$ \dim (V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim (V_1 \cap V_2) $$

iii. 直和：

• 子空间的扩充基定理（用来证明下面的定理）：对于 $V$ 的任何子空间 $V_1$，已知基 $\Phi_1$ 为 $V_1$ 的基，那么一定可以找到一些（$(\dim V - \dim V_1)$ 个）向量将其扩充为 $V$ 的基。
• 直和的充要条件：如果 $V_1 \cap V_2 = \{ \boldsymbol 0 \}$（即 $\dim (V_1 \cap V_2) = 0$），称 $V_1 + V_2$ 为「直和（直接和）」，直和也可记为 $V_1 \oplus V_2$。
  • 直和的原始定义其实是 $V_1+V_2$ 中所有向量都只能唯一地表示为某 $\boldsymbol x\in V_1$ 和 $\boldsymbol y \in V_2$ 的和，这里忽略。
• 直和一定存在：对于 $V$ 的任何子空间 $V_1$，一定存在 $V_2$ 使得 $V_1 \oplus V_2 = V$。
• 接长法求直和的基：如果 $V_1 + V_2$ 为直和，已知基 $\Phi_1$ 为 $V_1$ 的基，基 $\Phi_2$ 为 $V_2$ 的基，那么 $(\Phi_1, \Phi_2)$（这里指接长元素组）为 $V_1+V_2$ 的基。