曲面方程：$F(x, y, z) = 0$。

二次曲面（Quadric Surfaces）。

序一、特殊曲面（对称性）分析

1. 柱面（cylinder）

柱面：一个平面（或空间）曲线 $C$ 沿着给定的母线方向移动形成的轨迹称为柱面。

柱面正交变换后可以让母线与 $z$ 轴平行，从而得到一个与 $z$ 无关的公式 $f(x, y) = 0$。因而任何能消去一个变量的空间曲面都属于柱面。

2. 旋转曲面

旋转曲面：一个平面（或空间）曲线 $C$ 绕着给定平面内旋转轴旋转一周形成的轨迹称为旋转曲面。

旋转曲面正交变换和位移变换后可以让旋转轴与 $z$ 轴重合，对应一个公式 $f(\sqrt{x^2 + y^2}, z)=0$（或者是 $f(x^2 + y^2, z^2)$）。

序二、二次曲面及其化简

二次曲面：任意三元二次方程 $F(x, y, z) = 0$ 代表的曲面为二次曲面。

二次曲面的化简流程：

1. 将二次型部分通过正交变换换为标准二次型，以消除交叉乘法（如 $xy$）的部分。
   • 最好按照正特征值、负特征值、零特征值顺序来排列。
2. 将剩下的一次项（如 $x$），通过 $(x-x_0)^2 = x^2 - 2xx_0 - x_0^2$ 公式配方得到位移变换。
3. 从二次曲面列表中找出对应的形式，即可描述其形态。

下面列出具体的二次曲面列表。

一、椭球面（ellipsoid）

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

性质：

• 截距：三个轴上的截距即为 $x_0 = \pm a, \ y_0 = \pm b, \ z_0 = \pm c$（也是对应的半轴长度）。

形式变化：

• 标准形式（单位球面 (unit sphere)）：$x^2 + y^2 + z^2 = 1$，对称中心为原点。
  • 也写作 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$。
• 单位球等比伸缩后表达式为 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，半径即为 $r$。
  • 也作 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$。
• 再位移至圆心 $C$ 形式：$(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 + (z-z_C)^2 = r^2$。（$a,b,c\in \R$）
  • 展开式子后，$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + V = 0$ 一定表示球面。