零、引入几何代数

• 几何代数和线性代数几乎唯一的区别就是加上偏差项。
  • 根本上是因为，我们认为向量平移到哪里都是相同的，但是点平移之后了就是不同的点。

一、几何标架与几何变换

1. 几何标架

• 几何空间标架和线性空间基的唯一区别就是原点可以变（如果是线性空间或者变换，全局的零点总是固定的）。
  • 标架和基的要求一样：不一定标准或正交，但一定要有不线性相关。这样的线性标架又叫做仿射标架。
  • 因而几何标架一般记为 $\Phi \, [P; \boldsymbol \phi_1, \boldsymbol \phi_2, \cdots, \boldsymbol \phi_N]$，带多一个原点。
  • 由于同构的关系，可以认为所有的标架、坐标系都能在自然标架 ${\rm E} \, [O; \hat {\boldsymbol e_1}, \hat {\boldsymbol e_2}, \cdots, \hat {\boldsymbol e_N}]$ 基础上进行解释的。

2. 几何变换

• 仿射变换：对于两个仿射标架 $\Phi \, [P; \boldsymbol \phi_1, \boldsymbol \phi_2, \cdots, \boldsymbol \phi_N]$ 和 $\Psi \, [Q; \boldsymbol \psi_1, \boldsymbol \psi_2, \cdots, \boldsymbol \psi_N]$。如果：

  • 这样写出后者被前者线性表出的方法（这时，每一行都是 $\Psi$ 的基向量在 $\Phi$ 下对应的坐标）：

    $$ \begin{cases}

    \boldsymbol \psi_1 = a_{11} \boldsymbol \phi_1 + a_{21} \boldsymbol \phi_2 + \cdots + a_{n1} \boldsymbol \phi_n \\

    \boldsymbol \psi_2 = a_{12} \boldsymbol \phi_1 + a_{22} \boldsymbol \phi_2 + \cdots + a_{n2} \boldsymbol \phi_n \\

    \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\

    \boldsymbol \psi_n = a_{1n} \boldsymbol \phi_1 + a_{2n} \boldsymbol \phi_2 + \cdots + a_{nn} \boldsymbol \phi_n \\

    \end{cases}

    $$

    • 这样记 $\boldsymbol A$ 为 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵（矩阵形式中，每一列是一个 $\Psi$ 的基向量在 $\Phi$ 下对应的坐标了）：

      $$ \boldsymbol A = (\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \cdots, \boldsymbol a_N) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

      • 即有 $(\boldsymbol \psi_1, \boldsymbol \psi_2, \cdots, \boldsymbol \psi_n) = (\boldsymbol \phi_1, \boldsymbol \phi_2, \cdots, \boldsymbol \phi_n) \boldsymbol A$。

    • 还需要给出 $Q$ 在 $\Phi$ 下对应的坐标 $\boldsymbol b = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\rm T}$

      • 从自然标架的角度看，即有 $\overrightarrow {OQ} - \overrightarrow {OP} = \overrightarrow {PQ} = (\boldsymbol \phi_1, \boldsymbol \phi_2, \cdots, \boldsymbol \phi_n) \boldsymbol b$（这里 $\boldsymbol \Phi = (\boldsymbol \phi_1, \boldsymbol \phi_2, \cdots, \boldsymbol \phi_n)$ 就是 ${\rm E}$ 到 $\Phi$ 的过渡矩阵）。

  • 这样一来就可以得到坐标变换公式：

    • 某向量在 $\Phi, \Psi$ 下坐标分别为 $\boldsymbol x, \boldsymbol u$，那么：

      $$ \boldsymbol x = \boldsymbol A \boldsymbol u \ \ \ {\rm or} \ \ \ \boldsymbol u = \boldsymbol A^{-1} \boldsymbol x $$

    • 某点在 $\Phi, \Psi$ 下坐标分别为 $\boldsymbol x, \boldsymbol u$，那么：

      $$ \boldsymbol x = \boldsymbol A \boldsymbol u + \boldsymbol b \ \ \ {\rm or} \ \ \ \boldsymbol u = \boldsymbol A^{-1} (\boldsymbol x - \boldsymbol b) $$

• 正交变换：从标准正交标架到标准正交标架的几何变换是正交变换，其过渡矩阵 $\boldsymbol T$ 是正交矩阵。

  • 这说明逆变换的过渡矩阵就是原过渡矩阵的转置，即 $\boldsymbol u = \boldsymbol T^{-1} \boldsymbol x = \boldsymbol T^{\rm T} \boldsymbol x$。
  • 正交矩阵一定满足 $|\boldsymbol T| = \pm 1$。于是正交变换可能是同定向的（第一类正交变换），也可能是反定向的（第二类正交变换）。

二、正交变换及其分解

1. 正交变换的定义与性质

• 对于线性空间的正交变换，已经知道有如下等价定义：
  1. 映射前后向量间内积不变。
  2. 映射前后向量模长不变。
• 正交变换的充要条件是其变换矩阵为正交矩阵。
• 对于线性空间的正交变换，已经知道有如下性质：
  • 变换前后向量间夹角不变。
• 正交变换的性质：

  • 共线三点仍映射成共线三点，保持顺序不变；不共线三点仍映射成不共线三点。

  • 直线映射后仍为直线、线段映射后仍为线段。线段的分比不变。

    分比不变的定义

    对于直线 $l_{AB}$ 和其上任意一点 $P$（如果在线段 $AB$ 内称为内分点，否则为外分点），且 $A, B, C$ 映射为 $A', B', C'$，有：

    $$ \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|A'C'|}{|B'C'|} $$

  • 平行直线映射后仍为平行直线。

2. 正交变换的分解

• 正交变换可分解为平移、旋转、反射之复合。
  • 如果仅由平移、旋转复合构成的变换又被称为刚体变换。
  • 刚体变换是第一类正交变换。
• 恒等变换：所有点映射到自身。
• 平移变换：由向量 $\boldsymbol a$ 所指定的平移变换，会让所有点 $P$ 到其像点 $P'$ 的指向是该向量 $\boldsymbol a$ 即 $\overrightarrow{P'P} = \boldsymbol a$。
• (轴)反射变换：
  • 2D：由直线 $l$ 所指定的(轴)反射变化，会让所有点 $P$ 满足 $PP'$ 被 $l$ 垂直平分。
  • 3D：由平面 $\pi$ 指定。
  • ND：由 $N-1$ 维超平面指定。