在 $n$ 维欧式空间 $V$ 中取一组标准正交基 $\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \cdots, \boldsymbol e_n$（基 $E$），沿两个互异基向量 $(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j) \ (i < j)$ 指定的二维平面进行逆时针角度 $\theta$ 的旋转，此变换的矩阵表示如下，记为初等旋转矩阵 $\boldsymbol R_{i, j}(\theta)$。
一个简单的例子就是 $\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}$。
在 $n$ 维欧式空间 $V$ 中取一组标准正交基 $\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \cdots, \boldsymbol e_n$（基 $E$），沿两个互异基向量 $(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j) \ (i < j)$ 指定的二维平面进行逆时针角度 $\theta$ 的旋转，此变换的矩阵表示如下，记为初等旋转矩阵 $\boldsymbol R_{i, j}(\theta)$。
注：角度定义为逆时针角如下。如果用顺时针角，sin 前面的符号需要反过来。
在 $n$ 维酉空间 $W$ 中取一组标准正交基 $\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \cdots, \boldsymbol e_n$（基 $E$），沿两个互异基向量 $(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j) \ (i < j)$ 指定的二维平面进行角度为 $\lambda, \mu, \theta$ 的旋转，对应的矩阵为 $\boldsymbol R_{i, j}(\lambda, \mu, \theta)$ 如下（对各个角度的指定还没搞明白）：
容易得知，在 $(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j)$ 平面作如下旋转角，可以将第 $j$ 个维度化为 $0$。
$$ \cos -\theta = \frac{x_i}{\sqrt{x_i^2+ x_j^2}}, \ \ \ \ \ \sin -\theta = \frac{x_j}{\sqrt{x_i^2+ x_j^2}} $$
对任意 $n$ 维列向量 $\boldsymbol x$，总可以找到一组 $n-1$ 个初等旋转矩阵 $\boldsymbol R_{n}(\theta_n), \boldsymbol R_{n-1}(\theta_{n-1}), \cdots, \boldsymbol R_{3}(\theta_3), \boldsymbol R_{2}(\theta_2)$，从后往前通过 $(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_{n}), (\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_{n-1}), \cdots, (\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_{3}), (\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_{2})$ 平面依次消掉各个轴（也可以从前往后，顺序随意），使得：
$$ \boldsymbol R_{2} (\theta_2) \boldsymbol R_{3} (\theta_3) \cdots \boldsymbol R_{n-1} (\theta_{n-1}) \boldsymbol R_{n}(\theta_n) \boldsymbol x = (\| \boldsymbol x \|, 0, 0, \cdots, 0)^{\rm T} $$
例题
一个简单的例子是 xOy 空间沿 x 轴对称的矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 0 \\ 0 & -1 \\
\end{bmatrix}$，它将 $y$ 值反过来。
在 $n$ 维欧式空间 $V$ 中，使用任意单位向量 $\boldsymbol \omega$ 指代与其正交的 $n-1$ 维子空间 $W$，那么关于此子空间的对称矩阵为：
$$ \boldsymbol H(\boldsymbol \omega) = \boldsymbol E - 2 \boldsymbol \omega \boldsymbol \omega^{\rm T} $$
推导
对于原像 $\boldsymbol \eta$ 和对称得到的像 $\boldsymbol \xi$，有 $\boldsymbol \eta - \boldsymbol \xi = 2 \boldsymbol \omega (\boldsymbol \omega^{\rm T} \boldsymbol \eta)$，因而 $\boldsymbol \xi = (\boldsymbol E - 2\boldsymbol \omega \boldsymbol \omega^{\rm T})\boldsymbol \eta$（证略）。
