一、环的定义和性质

1. 环的定义

• 代数系统 $V=\lang R, +, \cdot \rang$ 如果满足如下条件被称为环 (Rng)，且 $+$ 称为环的加法，$\cdot$ 称为环的乘法。
  1. $\lang R, + \rang$ 构成阿贝尔群（封闭、可结合、有单位元、每个元素有逆、可交换）。
  2. $\lang R, \cdot \rang$ 构成半群（封闭、可结合）。
  3. 满足 $\cdot$ 对 $+$ 的分配律（$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) +(a \cdot c)$，以及 $(a + b) \cdot c = ...$）。
• 定义一系列符号。
  • **单位元：**记录 $0$ 为 $+$ 的单位元，$1$ 为 $\cdot$ 的单位元（如果有）。
    • 如果环含有单位元，这个环又可被称为幺环。
  • 逆元：
    • $\forall x \in R$，记录 $-x$ 为 $x$ 对 $+$ 的逆元，进一步地，$\forall x,y \in R$，记录 $x - y := x + (-y)$。
    • 如果 $x$ 对 $\cdot$ 有逆，记录 $x^{-1}$ 为 $x$ 对 $\cdot$ 的逆元。如果 $a, b$ 互为逆，称其为可逆元，也称为单位。
  • 幂：$\forall x \in R$，$\forall n \in \Z$，记录 $nx$ 为 $x$ 对 $+$ 的 $n$ 次幂，记录 $x^n$ 为 $x$ 对 $\cdot$ 的 $n$ 次幂。
• 实例：
  • 数环：$\Z, {\mathbb Q}, \R, {\mathbb C}$ 对于普通数的加法、乘法。
  • 模 $n$ 环：$\lang \Z_n, \oplus_n, \otimes _n \rang$。
  • $n$ 阶实矩阵：$\lang {\mathbb M} _n(\R), + ,\cdot \rang$。
  • 布尔：$\lang \{ 0, 1 \}, {\rm XOR}, {\rm AND} \rang$（同构于 $\Z_2$）。
  • 幂集：$\lang {\mathbb P}(B), \oplus, \cap \rang$，$\oplus$ 是对称差。

2. 环的性质

1. 继承自阿贝尔群 $\lang R, + \rang$ 的性质（有必要再拿出来换成新的记法重复确认的）：

   1. 环对 $+$ 有消去律。
      1. $\forall a, b, c \in R$，$a + c = b + c \, \Rightarrow \, a = b$；另一侧同理。
      2. $\forall a, b \in R$，$a + b = b \, \Rightarrow \, a = 0$；另一侧同理。
   2. 【负幂次定义的前置定理】$\forall a \in R$，$-(-a) = a$。
   3. 【幂次运算法则】
      1. $\forall a \in R$，$\forall n \in \Z$，$(-n)a = n(-a) = -(na)$。
      2. $\forall a \in R$，$\forall n, m \in \Z$，$(n+m) a = na + ma$。
      3. $\forall a \in R$，$\forall n, m \in \Z$，$(nm) a = n(ma)$。
      4. $\forall a, b \in R$，$\forall n \in \Z$，$n(a + b) = na + nb$。

2. 加法逆元是乘法零元：$\forall a \in R$，$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$。

   证：$\forall a \in R$，$a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$。应用加法消去律得到 $0 = a \cdot 0$。另一侧同理。

3. 取负/减法的性质：

   1. $\forall a \in R$，$a - a = 0$；
   2. $\forall a \in R$，$0 - a = -a$；
   3. $\forall a, b \in R$，$(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$。
   4. $\forall a, b \in R$，$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$。
   5. $\cdot$ 对 $-$ 有分配律（$a \cdot (b - c) = (a \cdot b) - (a \cdot c)$，以及 $(a - b) \cdot c = ...$）。
   6. 移项：$\forall a, b \in R$，$a = b + c \, \Leftrightarrow \, a - b =c$。
      • 变体：$\forall a, b \in R$，$a = b \, \Leftrightarrow \, a - b = 0$。

   证：

   1. $\forall a \in R$，$a - a = a + (-a) = 0$；
   2. $\forall a \in R$，$0 - a = 0 + (-a) = -a$。
   3. $\forall a, b \in R$，构造 $a \cdot b + a \cdot (-b) = a \cdot (b + (-b)) = a \cdot 0 = 0$，看等式最左最右侧可知 $a \cdot b$ 是 $a \cdot (-b)$ 的加法逆元，即 $-(a \cdot b) = a \cdot (-b)$。另一侧同理。
   4. $\forall a, b \in R$，$(-a) \cdot (-b) = -(a \cdot (-b)) = -(-(a \cdot b)) = a \cdot b$。
   5. $a \cdot (b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c$。另一侧同理。
   6. （$\Rightarrow$）$\forall a, b \in R$ 使得 $a = b + c$，有 $a - b = (b+c) - b = b + (-b) + c = c$。）（$\Leftarrow$）$\forall a, b \in R$ 使得 $a - b = c$，同理有 $b + c = b + (a - b) = a$。（变体）利用 $c = 0$ 易证。

4. 推广分配律。

   1. 【单侧有限和】$\left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \cdot b = \sum_{i=1}^n (a_i \cdot b)$；另一侧同理。
   2. 【双重有限和】$\left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^m b_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (a_i \cdot b_j)$。

   证明：

   1. 数学归纳法（另一侧同理）：

      1. $n = 1$ 时，$a_1 b = a_1 b$ 显然成立。

      2. $n = k$ 成立即 $\left( \sum_{i=1}^k a_i \right) \cdot b = \sum_{i=1}^k (a_i \cdot b)$ 成立时，$n=k+1$ 也成立：

         $$ \begin{align*}

         \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right) \cdot b

         &= \left( \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1} \right) \cdot b \\

         &= \left( \sum_{i=1}^k a_i \right) \cdot b + a_{k+1} \cdot b \\

         &= \sum_{i=1}^k (a_i \cdot b) + a_{k+1} \cdot b \\

         &= \sum_{i=1}^{k+1} (a_i \cdot b)

         \end{align*} $$

   2. 如下，使用两次单侧有限和结论：

      $$ \left( \sum_{i=1}^n a_i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^m b_j \right)

      = \sum_{i=1}^n \left( a_i \cdot \left( \sum_{j=1}^m b_j \right) \right)

      = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (a_i \cdot b_j) $$

5. 百变乘法幂：

   1. $\forall a, b \in R$，$\forall n \in \Z$，$(na) \cdot b = n (a \cdot b) = a \cdot (nb)$ 。
   2. $\forall a, b \in R$，$\forall n, m \in \Z$，$(na) \cdot (mb) = (mn) (a \cdot b) = (ma) \cdot (nb)$。

   **证：**使用推广分配律可以得到。分类讨论 $n$ 的情况，比如下面是 $n > 0$ 时：

   1. $(na) \cdot b = \left( \sum_{i=1}^n a \right) \cdot b = \sum_{i=1}^n ( a \cdot b ) = n (a \cdot b)$，另一侧同理。
   2. $(na) \cdot (mb) = \left( \sum_{i=1}^n a \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^m b \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (a \cdot b) = n (m (a \cdot b)) = (nm)(a \cdot b)$（最后一个等号用了幂次运算法则），另一侧加上 $mn=nm$ 可交换就同理。

二、拓展的环

1. 平凡环、交换环、幺环、无零因子环、整环

• **【平凡环的定义】**只有唯一元素（记为 $0$）的环 $\lang \{ 0 \}, +, \cdot \rang$。
• **【交换环的定义】**乘法满足交换律的环。
  • 比如，$\lang \Z, +, \cdot \rang$ 是交换环，而 $\lang {\mathbb M} _n(\R), + ,\cdot \rang$ 在 $n \ge 2$ 时不是（矩阵乘法不保证交换律）。
• **【幺环 (Ring) 的定义】**具有乘法单位元的环。

  • 比如，$\lang \Z, +, \cdot \rang$ 具有乘法单位元 $1$，而 $\lang 2\Z, +, \cdot \rang$（所有偶数对加法和乘法构成的环）没有乘法单位元。

  • **【平凡环的充要条件】**对于幺环 $\lang R, +, \cdot \rang$，记其加法单位元为 $0$、乘法单位元为 $1$，那么：$0 = 1 \Leftrightarrow |R| = 1$。

    证：

    • $\Leftarrow$：显然，因为平凡环有且仅有一个元素。
    • $\Rightarrow$：反证法，假设 $|R| > 1$，那么就可以任取一个 $a \in R$ 且 $a \neq 0$，有零元性质 $a \cdot 0 = 0$，但同时根据 $0 = 1$，$a \cdot 0 = a \cdot 1 = a$，得到 $a = 0$ 与 $a \neq 0$ 矛盾。

• **【无零因子环的定义】**如果 $\forall a, b \in R$，$a \cdot b = 0 \, \Rightarrow \, a = 0 \vee b = 0$，那么称环为无零因子环。

  • **【零因子的定义】**如果对于元素 $a \in R$、$a \neq 0$，存在 $b \in R$、$b \neq 0$ 使得 $a \cdot b = 0$或 $b \cdot a = 0$，那么 $a$ 被称为零因子。

  • **【无零因子环的充要条件】**对于环 $\lang R, +, \cdot \rang$，此环为无零因子环 $\Leftrightarrow$ 环对乘法有消去律。

    证：

    • $\Leftarrow$：$\forall a, b \in R$，$a \cdot b = 0$，反证法。假如 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$，根据 $0 = 0 \cdot b$ 可写成 $a \cdot b = 0 \cdot b$ 根据乘法消去律得到 $a = 0$，发生矛盾。
    • $\Rightarrow$：$\forall a, b, c \in R$ 使得 $a \cdot c = b \cdot c$ 且 $c \neq 0$，移项得到 $a\cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c = 0$，所以要么 $c = 0$，要么 $a-b = 0$ 即 $a = b$。由于 $c \neq 0$，因而只能是 $a = b$。另一侧同理。

  • **【无零因子环的例子】**比如，$\lang \Z, +, \cdot \rang$ 是无零因子环，但 $\lang \Z_6, \oplus_6, \otimes_6 \rang$ 并非无零因子环（因为 $2 \otimes_6 3 = 0$）。

• **【整环的定义】**同时满足：非平凡、是交换环、是幺环、是无零因子环的环。

  • **【素数大小的模环都是整环】**对于素数 $p$，$Z_p = \lang \Z_p, \oplus_p, \otimes_p \rang$ 是整环。

    **证：**易知道 $Z_p$ 构成环，$Z_p$ 非平凡、$1$ 是乘法幺元，且 $\otimes_p$ 有交换律。只需要证 $Z_p$ 是无零因子环，只需证 $\forall a, b \in \Z_p$ 使得 $a \otimes_p b = 0$，都有 $a = 0 \vee b = 0$。

    • 反证法。$\exists a, b \in \Z_p$ 使得 $a \otimes_p b = 0$ 且 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$。可导出 $ab \equiv 0$（${\rm mod} \, p$），也就是 $p \mid ab$。
    • 根据素数 $p$ 的性质有 ① $p \mid b$ ② $p \perp b$ 两个条件中有且一个条件为真，根据 $p > b$ 与 $p \mid b$ 矛盾（后者导出 $p \le b$）得到 $p \perp b$ 成立。
    • $p \mid ab \wedge p \perp b \Rightarrow$ $p \mid a$。导出 $p \le a$，与 $p > a$ 矛盾。

2. 单位群、除环、域