**【置换性质的定义】**对于运算 $o_i$，如果对于所有的 $x_1, x_2, \cdots, x_{k_i} \in A$ 和所有的 $y_1, y_2, \cdots, y_{k_i} \in A$，都有下面的蕴含式成立：
$$ (\forall j=1, 2, \cdots, k_i: \, x_j \sim y_j) \to o_i(x_1, x_2, \cdots, x_{k_i}) \sim o_i(y_1, y_2, \cdots, y_{k_i}) $$
那么称等价关系 $\sim$ 对于运算 $o_i$ 具有置换性质。
【同余关系的定义】如果 $\sim$ 对于 $V$ 中的所有运算 $o_1, o_2, \cdots, o_r$ 都具有置换性质，那么称 $\sim$ 是 $V$ 上的同余关系，$A$ 中关于 $\sim$ 的等价类也能被称为同余类。
对于 $V = \lang \Z, + \rang$，$x \sim_p y :\Leftrightarrow x \equiv y \, ({\rm mod} \, p) \, (p \in \Z_+)$ 是 $V$ 上的同余关系。
**证明：**作任意 ****$a_1, a_2, b_1, b_2 \in \Z$ 使得 ${\rm mod} \, p$ 意义下 $a_1 \equiv b_1$ 和 $a_2 \equiv b_2$ 成立，那么 $a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2$ 也成立。
对于 $V = \lang \Z_4, \oplus_4 \rang$，一共有 15 个等价关系，其中只有下面三种划分对应同余关系：
其余的都不是，比如 $\{ \{ 0 \}, \{ 1, 2, 3 \} \}$ 这个划分对于 $1 \sim 1$ 和 $1 \sim 3$ 有 $1 \oplus_4 1 \nsim 1 \oplus_4 3$。
【商代数的定义】设代数系统 $V = \langle A, \{ o_1, o_2, \cdots, o_r \} \rangle$（其中 $o_i$ 为 $k_i$ 元运算），以及 $A$ 上的一个同余关系 $\sim$，那么 $V$ 关于 $\sim$ 的商代数记为：
$$ V / {\sim} \, := \lang A / {\sim} , \{ \overline o_1, \overline o_2, \cdots, \overline o_r \} \rang $$
其中每一个运算 $\overline o_i$ 的定义为：$\forall \, \overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i} \in A / {\sim}$，对于所有的 $a_1, a_2, \cdots, a_{k_i} \in A$ 使得 $[a_1]\sim = \overline a_1$，$[a_2]\sim = \overline a_2$，…，$[a_{k_i}]\sim = \overline a{k_i}$，$[o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})]\sim$ 是唯一的，因而可以作 $\overline o_i(\overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a{k_i}) := [o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})]\sim$（任取满足条件的 $a_1, a_2, \cdots, a{k_i} \in A$ 结果都一样）。
说明：为了给出良定义，需要先证明 $[o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})]_\sim$ 是唯一的。
- 对于任意的 $x_1, x_2, \cdots, x_{k_i} \in A$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_{k_i} \in A$ 使得 $[x_1]\sim = [y_1]\sim = \overline a_1$，$[x_2]\sim = [y_2]\sim = \overline a_2$，…，$[x_{k_i}]\sim = [y{k_i}]\sim = \overline a{k_i}$，根据同余关系的定义马上得到 $[o_i(x_1, x_2, \cdots, x_{k_i})]\sim = [o_i(y_1, y_2, \cdots, y{k_i})]_\sim$。证毕。
- 换句话说，对于所有的 $a_1, a_2, \cdots, a_{k_i} \in A$，都有 $\overline o_i([a_1]\sim, [a_2]\sim, \cdots, [a_{k_i}]\sim) = [o_i(a_1, a_2, \cdots, a{k_i})]_\sim$。
**【商代数仍然是一个代数系统】**如题。
只需证 $\forall \, \overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i} \in A / {\sim}$，$\overline o_i(\overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i}) \in A / {\sim}$。根据上方 $\overline o_i$ 的定义转换为 $[o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})]_\sim$ 后，据原代数系统 $V$ 的封闭性马上能得到。
【商代数的性质】
【同态映射能导出同余关系】对于两个同类型的代数系统 $V_1 = \langle A, \{ p_1, p_2, \cdots, p_r \} \rangle$ 和 $V_2 = \langle B, \{ q_1, q_2, \cdots, q_r \} \rangle$（记 $\forall i \in [1, r]$，$p_i$ 和 $q_i$ 同为 $k_i$ 元运算）和 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同态映射 $f$，那么 $f$ 导出的等价关系 $\forall x, y \in A, \, x \sim y :\Leftrightarrow f(x) = f(y)$ 是 $V_1$ 上的同余关系。
**证：**对于 $k_i$ 元的运算 $p_i$，如果对于任意的 $x_1, x_2, \cdots, x_{k_i} \in A$ 和任意的 $y_1, y_2, \cdots, y_{k_i} \in A$ 使得 $\forall j \in 1, 2, \cdots, k_i$ 都有 $x_j \sim y_j$（即 $f(x_j) = f(y_j)$），那么：
$$ \begin{align*}
f(p_i(x_1, x_2, \cdots, x_{k_i})) &= q_i(f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_{k_i})) \\
&= q_i(f(y_1), f(y_2), \cdots, f(y_{k_i})) \\
&= f(p_i(y_1, y_2, \cdots, y_{k_i})) \\
\end{align*} $$
即 $p_i(x_1, x_2, \cdots, x_{k_i}) \sim p_i(y_1, y_2, \cdots, y_{k_i})$。
自同态映射导出同余关系的实例
前文提到，对于 $V = \lang \Z_4, \oplus _4 \rang$ 这一代数系统，有且仅有 $4$ 个互相不同的自同态 $f_p(x) = (px) \, {\rm mod} \, n$，$p = 0, 1, \cdots, n-1$。在这里以离散信号的形式简记为：$f_0 = [0, 0, 0, 0]$，$f_1 = [0, 1, 2, 3]$，$f_2 = [0, 2, 0, 2]$，$f_3 = [0, 3, 2, 1]$。它们导出的同余关系分别是这样的：
| 自同态映射 | 导出的同余关系 |
|---|---|
| $f_0 = [0, 0, 0, 0]$ | $\{ \{ 0, 1, 2, 3 \} \}$（全域关系） |
| $f_1 = [0, 1, 2, 3]$ | $\{ \{ 0 \}, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \} \}$（恒等关系） |
| $f_2 = [0, 2, 0, 2]$ | $\{ \{ 0, 2 \}, \{ 1, 3 \} \}$ |
| $f_3 = [0, 3, 2, 1]$ | $\{ \{ 0 \}, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \} \}$（恒等关系） |
【同态基本定理】上述同余关系导出的商代数 $V_1 /{\sim}$ 同构于同态像系统 $V_3 = \langle f(A), \{ q_1, q_2, \cdots, q_r \} \rangle$。
证：
作出 $A /{\sim} \to f(A)$ 的映射 $h$。
- 先证明对于任意的 $\overline a \in A / {\sim}$，对于任意 $a \in A$ 使得 $[a]\sim = \overline a$，都有 $f(a)$ 唯一。这个简单，对于任意 $x, y \in A$ 使得 $[x]\sim = [y]_\sim = \overline a$，有 $x \sim y$ 即 $f(x) = f(y)$，因而唯一。
- 既然如此，就能作映射 $h: A/ {\sim} \to f(A)$，使得 $h(\overline a) = f(a)$。
- 换句话说，对于所有的 $a \in A$，都有 $h([a]_\sim) = f(a)$。
证明 $h$ 是 $V_1$ 到 $V_3$ 的同构映射，即想要证：$\forall \, \overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i} \in A/ {\sim}$， $h(\overline p_i(\overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i})) = q_i (h(\overline a_1), h(\overline a_2), \cdots, h(\overline a_{k_i}))$。
存在 $a_1, a_2, \cdots, a_{k_i} \in A$ 使得 $[a_1]\sim = \overline a_1$，$[a_2]\sim = \overline a_2$，…，$[a_{k_i}]\sim = \overline a{k_i}$，也就使得 $h(\overline a_1) = f(a_1)$，$h(\overline a_2) = f(a_2)$，…，$h(\overline a_{k_i}) = f(a_{k_i})$。之后作：
$$ \begin{align*}
h(\overline p_i(\overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_{k_i}))
&= h(\overline p_i([a_1]\sim, [a_2]\sim, \cdots, [a_{k_i}]_\sim)) \\
&= h( [ p_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i}) ] ) \\
&= f( p_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i}) ) \\
&= q_i (f(a_1), f(a_2), \cdots, f(a_{k_i})) \\
&= q_i (h(\overline a_1), h(\overline a_2), \cdots, h(\overline a_{k_i})) \\
\end{align*} $$
立即得证。
证明 $h$ 是满射，即想要证：$\forall \, b \in f(A)$，$\exists \, \overline a \in A / {\sim}$ 使得 $h(\overline a) = b$。
- $\forall \, b \in f(A)$，$\exists \, a \in A$ 使得 $f(a) = b$。由于 $h([a]\sim) = f(a) = b$ 且 $[a]\sim \in A / {\sim}$，证毕。
证明 $h$ 是单射，即想要证：$\forall \, \overline a_1, \overline a_2 \in A / {\sim}$ 使得 $h(\overline a_1) = h(\overline a_2)$，那么 $\overline a_1 = \overline a_2$。
- 存在 $a_1, a_2 \in A$ 使得 $[a_1]\sim = \overline a_1$ 和 $[a_2]\sim = \overline a_2$。这就有 $f(a_1) = h(\overline a_1) = h(\overline a_2) = f(a_2)$ 得到 $f(a_1) = f(a_2)$。根据 $\sim$ 的定义得到 $a_1 \sim a_2$，因而 $\overline a_1 = \overline a_2$。
【同余关系能导出同态映射】设代数系统 $V = \langle A, \{ o_1, o_2, \cdots, o_r \} \rangle$（其中 $o_i$ 为 $k_i$ 元运算），$\sim$ 是 $V$ 上的一个同余关系，那么 $\sim$ 导出的自然映射 $f: A \to A/ {\sim}$，$f(x) := [x]_\sim$ 是 $V$ 到 $V/{\sim}$ 的同态映射。
证：对于 $k_i$ 元的运算 $o_i$，我们知道 $V/{\sim}$ 中对应的运算定义为 $\overline o_i$。对于任意的 $a_1, a_2, \cdots, a_{k_i} \in A$，都有：
$$ \begin{align*}
f(o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})) &= [o_i(a_1, a_2, \cdots, a_{k_i})]_\sim \\
&= \overline o_i([a_1]\sim, [a_2]\sim, \cdots, [a_{k_i}]_\sim) \\
&= \overline o_i(f(a_1), f(a_2), \cdots, f(a_{k_i}))
\end{align*} $$
等价关系 $\sim$ 如果对原系统运算 $o$ 具有置换性质，就可以导出良定义的商代数中的新运算 $\overline o$。类似地，对于原系统中的 $K$ 元关系 $R$（比如二元的倒数关系等），也可以定义类似的性质和导出商集中的新的 $K$ 元关系 $\overline R$。
**【相容性质的定义】**如果对于所有的 $x_1, x_2, \cdots, x_K \in A$ 和所有的 $y_1, y_2, \cdots, y_K \in A$，都有下面的蕴含式成立：
$$ \begin{align*}
(\forall i \in 1, 2, \dots, K : x_i \sim y_i) \to (R(x_1, x_2, \cdots, x_K) \Leftrightarrow R(y_1, y_2, \cdots, y_K))
\end{align*} $$
那么称等价关系 $\sim$ 对于 $K$ 元关系 $R$ 具有相容性质。
**【在商集中导出新关系】**定义 $A/{\sim}$ 上的 $K$ 元关系 $\overline R \subseteq (A/{\sim})^K$：$\forall \, \overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_K \in A / {\sim}$，对于所有的 $a_1, a_2, \cdots, a_K \in A$ 使得 $[a_1]\sim = \overline a_1$，$[a_2]\sim = \overline a_2$，…，$[a_K]_\sim = \overline a_K$，$R(a_1, a_2, \cdots, a_K)$ 的真假是唯一的，因而可以作 $\overline R(\overline a_1, \overline a_2, \cdots, \overline a_K) :\Leftrightarrow R(a_1, a_2, \cdots, a_K)$（任取满足条件的 $a_1, a_2, \cdots, a_K \in A$ 结果都一样）。
说明：为了给出良定义，需要先证明 $R(a_1, a_2, \cdots, a_K)$ 是唯一的。
- 对于任意的 $x_1, x_2, \cdots, x_K \in A$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_K \in A$ 使得 $[x_1]\sim = [y_1]\sim = \overline a_1$，$[x_2]\sim = [y_2]\sim = \overline a_2$，…，$[x_K]\sim = [y_K]\sim = \overline a_K$，根据相容性质的定义马上得到 $R(x_1, x_2, \cdots, x_K) \Leftrightarrow R(y_1, y_2, \cdots, y_K)$。证毕。
- 换句话说，对于所有的 $a_1, a_2, \cdots, a_K \in A$，都有 $\overline R([a_1]\sim, \overline [a_2]\sim, \cdots, [a_K]_\sim) :\Leftrightarrow R(a_1, a_2, \cdots, a_K)$。