一、N 维几何代数的基本定义、公理、定律

• 下面只讨论 $\boldsymbol Q = {\rm diag}(1, 1, \cdots, 1)$ 时 ${\rm Cl}_N(\boldsymbol Q)$ 的情形。

1. 基元素与线性组成

• 基元素分为 $N+1$ 个级别（$0$ 级 ~ $N$ 级），一共有 $C_N^0 + C_N^1 + \cdots + C_N^N = 2^n$ 个基元素。

  • 0 级元素有 $C_N^0=1$ 个，为标量 $1$。

  • 1 级元素有 $C_N^1 = N$ 个，为向量 $e_1, e_2, \cdots e_N$。

  • 2 级元素有 $C_N^2 = \frac {N(N-1)}{2}$个，是下面这些：

    $$ \begin{pmatrix}

    e_1e_2 & e_1e_3 & e_1e_4 & \cdots & e_1e_N \\

    & e_2e_3 & e_2e_4 & \cdots & e_2e_N \\

    &&& \ddots & \vdots\\

    &&&&e_{N-1}e_N \\

    \end{pmatrix} $$

  • 以此类推。

  

• **全量、k 级量的定义：**与之前相同。全量一般也写作下面这样：

  $$ \boldsymbol A = a_0 + \sum_{l=1}^N \sum_{1 \le p_1 < p_2 < \cdots < p_l \le N } a_{p_1 p_2 \cdots p_l} e_{p_1} e_{p_2} \cdots e_{p_l} $$

• 取 $k$ 级量：从全量取出某个级量的操作。记为 $\langle \boldsymbol A \rangle_k$。

  • 取 $k$ 级量的性质
    • 线性性质：$\langle c_1 \boldsymbol A + c_2 \boldsymbol B\rangle_k = c_1 \langle \boldsymbol A \rangle_k + c_2 \langle \boldsymbol B\rangle_k$。

• 乘法法则和之前相同。

2. k 级量的模的定义

只有 k 级量有模，全量没有模。

定义任意 k 级量的模就是 $C_N^K$ 个基元素上的分量的平方和开方。

1. 定义标量的模为 $\| a_0 \| = |a_0|$。
2. 定义向量的模（长度）为 $\| a_1e_1 + a_2e_2 + \cdots + a_Ne_N \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_N^2}$。
3. 定义双向量的模（面积）为 $\| a_{12}e_1e_2 + a_{13}e_1e_3 + \cdots + a_{(N-1)N}e_{(N-1)N} \| = \sqrt{a_{12} + a_{13} + \cdots + a_{(N-1)N}^2}$。
4. ……
5. 定义 $N-1$ 级量的模（超体积）为$\sqrt{a_{23\cdots N}^2 + a_{134\cdots N}^2 + a_{12\cdots(N-1)}^2}$。
6. 定义三向量的模（超体积）为 $\| a_{12\cdots N} \| = |a_{12\cdots N}|$。

二、全量的几何积、点积、楔积

• 全量的几何积 $\boldsymbol A \boldsymbol B$ 就是展开展开疯狂的展开。
• 全量几何积的性质：
  • 交换律：$\boldsymbol A (\boldsymbol B \boldsymbol C) = (\boldsymbol A \boldsymbol B) \boldsymbol C = \boldsymbol A \boldsymbol B \boldsymbol C$（证略）。
  • 加法分配律：$\boldsymbol A (\boldsymbol B + \boldsymbol C) = \boldsymbol A \boldsymbol B + \boldsymbol A \boldsymbol C$（证略）。