一、三维几何代数的基本定义、公理、定律

• 下面只讨论 $\boldsymbol Q = {\rm diag}(1, 1, 1)$ 时 ${\rm Cl}_3(\boldsymbol Q)$ 的情形。

1. 基元素

• 基元素分为 4 个级别，一共有 1 + 3 + 3 + 1 = 8 个。
  • 0 级基元素：$1$（基标量），是一个标量（零维度量）。
  • 1 级基元素：$e_1, e_2, e_3$（基向量），是一个向量（一维度量）。
  • 2 级基元素：$e_1e_2, e_2e_3, e_3e_1$（基双向量），是一个双向量（二维度量）。
  • 3 级基元素：$e_1e_2e_3$（基三向量），是一个三向量（三维度量），可用于衡量有向体积。

    • 顺序：右手定则。

      

2. 全量、k 级量的定义

与先前相同。

• 双向量也被称为 2 级量。

3. k 级量的模的定义

只有 k 级量有模，全量没有模。

1. 定义标量的模为 $\| a_0 \| = |a_0|$。
2. 定义向量的模（长度）为 $\| a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3 \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^3}$。
3. 定义双向量的模（面积） $\| a_{12}e_1e_2 + a_{23}e_2e_3 + a_{31}e_3e_1 \| = \sqrt{a_{12}^2 + a_{23}^2 + a_{31}^2}$。
4. 定义三向量的模（体积）为 $\| a_{123} \| = |a_{123}|$。

4. 公理与定律

• 乘法法则和之前相同。
• 但可以留意：
  • $(e_1e_2)^2 = (e_2e_3)^2 = (e_3e_1)^2 = -1$。
  • $(e_1e_2e_3)^2=-1$。

二、二维几何代数的几何积、点积、楔积

1. 全量的几何积、点积、楔积

• 全量几何积的展开：