一、几何代数（克利福德代数）综述

• 我们经常说三维旋转是沿着旋转轴进行的，但旋转轴的观点仅在三维空间中有效，因为只有这时可以通过一个轴找到其余下的两个补轴构成旋转平面。
• 三维空间中涉及向量叉乘结果的量，比如法线向量、曲率向量，它们真的应该是向量吗？向量叉乘的局限性，导致叉乘的结果量只在三维和七维空间这两个特定维度才有向量结果形式的定义。
• 总之单纯使用向量的话，只能呈现和操作一维维度上的特征。克利福德代数（几何代数）则会引入所有的子空间基元，包括线、面、体积等，是研究高维几何结构的重要代数工具。

二、二维几何代数的基本定义

1. 基础定义

• 二维克利福德代数被记为 ${\rm Cl}_2(\boldsymbol Q)$。
  • 其中 $\boldsymbol Q$ 是一个 2 × 2 对称阵，一般是单位矩阵或者只有 +1 或 -1 的对角矩阵。

2. 基元素

• 基元素分为 3 个级别，一共有 1 + 2 + 1 = 4 个。
  • 0 级基元素：$1$（基标量），是一个标量（零维度量）。
  • 1 级基元素：$e_1, e_2$（基向量），是一个向量（一维度量）。
  • 2 级基元素：$e_1e_2$（基双向量），是一个双向量（二维度量），可用于衡量有向面积或旋转量。

    • 这个量我们以前是用有向标量来「表征」，但这里使用 $e_1 e_2$。

    • 指示平面的顺序：将基向量从左到右首尾相接排在一起。

      

3. 向量、k 级量、全量

• 向量：由 1 级基（$e_1$ 和 $e_2$）线性组合而成的量为向量 (vector)。线性表示为：

  $$ \boldsymbol a = a_1e_1 + a_1e_2 $$

• $k$ 级量：$k$ 级基线性组合而成的量（$k \in \{ 0, 1, 2 \}$）称为 k 级量 (k-blade)。

  • 比如向量就是 1 级量。

• 全量：由 $1, e_1, e_2, e_1e_2$ 中任意分量线性组合而成的量叫做全量 (multi-vector)。线性表示为：

  $$ \boldsymbol A = a_0 + a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_{12} e_1e_2 \\ {\rm or} \\ \boldsymbol A = \alpha + a_1 e_1 + a_2 e_2 + A e_1e_2 $$

• 取 $k$ 级量：从全量取出某个级量的操作。记为 $\langle \boldsymbol A \rangle_k$。比如：$\langle \boldsymbol A \rangle_1 = a_1 e_1 + a_2 e_2$。

  • 取 $k$ 级量的性质
    • 线性性质：$\langle c_1 \boldsymbol A + c_2 \boldsymbol B\rangle_k = c_1 \langle \boldsymbol A \rangle_k + c_2 \langle \boldsymbol B\rangle_k$。

4. k 级量的模的定义

只有 k 级量有模，全量没有模。

1. 定义标量的模为 $\| \alpha \| = |\alpha|$。
2. 定义向量的模（长度）为 $\| a_1e_1 + a_2e_2 \| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$。
3. 定义双向量的模（面积） $\| Ae_1e_2 \| = |A|$。