Peano 系统的定义：给出集合 $M$，函数 $F : M \to M$，元素 $e \in M$，这样的三元组 $\left< M, F, e\right>$被称为 Peano 系统：
Peano 系统形如这样：
后继和归纳集都是冯·诺依曼提出的。
后继 (successor) 的定义：对于集合 $A$，$A$ 的后继为：$A^+ = A \cup \{ A \}$。
这样，有 $A \sube A^+$ 和 $A \in A^+$。
其实就是套娃。比如：
$$ \begin{align*}
\empty^+ &= \{ \empty \} \\
\empty^{++} &= \{ \empty, \{ \empty \} \} \\
\empty^{+++} &= \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \} \\
\empty^{++++} &= \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \}, \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \} \} \\
& \ \ \vdots
\end{align*} $$
归纳集的定义：如果集合 $A$ 同时满足如下两点：
那么 $A$ 被称为归纳集。
归纳集的例子：
$$ \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \}, \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \}, \cdots \} = \{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \empty^{+++}, \cdots \} $$
但其实任意 $\{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \cdots, a, a^+, a^{++}, \cdots \}$ 也是归纳集（但它不是最小的）。
自然数的定义：把这些记号定义为自然数：
$$ \begin{align*}
0 &= \empty \\
1 &= 0^+ = \empty^{+} = \{ 0 \} \\
2 &= 1^+ = \empty^{++} = \{ 0, 1 \} \\
3 &= 2^+ = \empty^{+++} = \{ 0, 1, 2 \} \\
& \ \ \vdots \\
n &= (n - 1)^+ = \{ 0, 1, 2, \cdots, n-1\}
\end{align*} $$
自然数的性质：有：
自然数构成皮亚诺系统：记 $\N = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}$，其是最小的归纳集。这样，可验证 $\N$ 在 $\sigma$下封闭，也可验证 $\left< \N, \sigma, 0 \right>$（也就是 $\left < \{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \cdots \}, \sigma, \empty \right >$）构成一个皮亚诺系统。