Peano 系统的定义：给出集合 $M$，函数 $F : M \to M$，元素 $e \in M$，这样的三元组 $\left< M, F, e\right>$被称为 Peano 系统：
Peano 系统形如这样：
后继和归纳集都是冯·诺依曼提出的。因而这种自然数定义被称为冯·诺依曼（von Neumann）自然数定义。
后继 (successor) 的定义：对于集合 $A$，$A$ 的后继为：$A^+ = A \cup \{ A \}$。
这样，有 $A \sube A^+$ 和 $A \in A^+$。
其实就是套娃。比如：
$$ \begin{align*}
\empty^+ &= \{ \empty \} \\
\empty^{++} &= \{ \empty, \{ \empty \} \} \\
\empty^{+++} &= \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \} \\
\empty^{++++} &= \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \}, \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \} \} \\
& \ \ \vdots
\end{align*} $$
$\forall x \in A^+$，一定有 $x \in A$ 或者 $x = A$。
证明：因为 $A^+ = A \cup \{ A \}$，一个可能是 $x$ 来源于 $A$ 的部分也就是 $x \in A$，否则 $x$ 来源于 $\{ A \}$ 的部分也就是 $x = A$。
归纳集的定义：如果集合 $A$ 同时满足如下两点：
那么 $A$ 被称为归纳集。
归纳集的例子：
$$ \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \}, \{ \empty, \{ \empty \}, \{ \empty, \{ \empty \} \} \}, \cdots \} = \{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \empty^{+++}, \cdots \} $$
但其实任意 $\{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \cdots, a, a^+, a^{++}, \cdots \}$ 也是归纳集（但它不是「最小」的）。
自然数的定义：把这些记号定义为自然数：
$$ \begin{align*}
0 &= \empty \\
1 &= 0^+ = \empty^{+} = \{ 0 \} \\
2 &= 1^+ = \empty^{++} = \{ 0, 1 \} \\
3 &= 2^+ = \empty^{+++} = \{ 0, 1, 2 \} \\
& \ \ \vdots \\
n &= \{ 0, 1, 2, \cdots, n-1\}
\end{align*} $$
其中 $\emptyset$ 是空集。
具体而言如图。
可以知道，如果 $n$ 是自然数，$\forall x \in n$，$x$ 也是自然数。
证明：归纳法，$n = 0$ 时空真命题成立；假设 $n \in \N$ 时假设成立想要证 $n^+$ 也成立：$\forall x \in n^+$，因 $n^+ = n \cup \{ n \}$ 分类讨论 $x$ 来源：①$x \in n$，那么根据归纳假设有 $x$ 是自然数；② $x = n$，根据 $n$ 是自然数 $x$ 是自然数。
自然数的性质：有：
自然数构成皮亚诺系统：记 $\N = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}$，其是最小的归纳集。这样，可验证 $\N$ 在 $\sigma$ 下封闭，也可验证 $\left< \N, \sigma, 0 \right>$（也就是 $\left < \{ \empty, \empty^{+}, \empty^{++}, \cdots \}, \sigma, \empty \right >$）构成一个皮亚诺系统。