罗素悖论及 ZFC 的解决方法

罗素悖论

• 朴素集合论中，人们默认对于任何性质 $P(x)$，都能导出一个对象集合 $A = \{ x \mid P(x) \}$。这样被称为「无限制的概括」。

• 这种情况下，令 $R := \{ x \mid x \notin x \}$，根据定义可以导出 $R \in R \Leftrightarrow R \notin R$。

  证明

  1. 假设 $R \notin R$，那么根据 $R$ 的定义有 $R \in R$。
  2. 假设 $R \in R$，那么根据 $R$ 的定义有 $R \notin R$。

• 不过，这样的 $R$ 也只能在理论上进行构造，但不能提供实例。

在 ZFC 中规避罗素悖论的方法

• ZFC 不接受这种无限制概括，转而在对性质 $\varphi(x)$ 进行导出时，需要先提供一个已经存在的集合 $A$，构造 $B = \{ x \in A \mid \varphi(x) \}$。

• 这种情况下，对于任意集合 $A$，构造：$R_A := \{ x \in A \mid x \notin x \}$。我们可以证明：$R_A \notin A$。

  证明：反证法，假设 $R_A \in A$。

  1. 假设 $R_A \notin R_A$，结合 $R_A \in A$ 和 $R_A$ 的定义，得到 $R_A \in R_A$ 发生矛盾。
  2. 假设 $R_A \in R_A$，根据 $R_A$ 的定义，得到 $R_A \notin R_A$ 发生矛盾。

• 因而 $R_A$ 不会属于 $R_A$ 本身的讨论对象——需要先有 $x \in A$ 才可能有 $x \in R_A$，但 $R_A$ 不符合，因而不会有 $R_A \in R_A$。所以说悖论被彻底切断了。

ZFC 中不存在自身属于自身的集合

• ZFC 有一条「正则公理」：对于任意非空集合 $A$，都存在某个 $y \in A$ 使得 $y \cap A = \varnothing$。

• 定理：不存在非空集合 $X$，使得 $X \in X$。

  证明：反证法，假设存在非空集合 $X$ 使得 $X \in X$。作 $A = \{ X \}$。因为正则公理，这个唯一元素需要满足 $X \cap A = \varnothing$。即 $X \cap \{ X \} = \varnothing$。根据 $X \in X$ 和 $X \in \{ X \}$ 可以导出 $X \in X \cap \{ X \}$，也就是 $X \in \varnothing$。这与空集为空矛盾。