A 噪声模型

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i. 均匀 (Uniform) 分布

均匀分布的 PDF 如下：

$$ p(z) = \begin{cases}

\frac {1}{b-a}, & z \in [b, a] \\

0, &{\rm otherwise}

\end{cases} $$
特征：
- 均值 $\overline z = \frac {a+b} 2$。
- 方差 $\sigma^2 = \frac {(b - a)^2}{12}$。

ii. 高斯 (Gaussian) 噪声

高斯分布的 PDF 如下：

$$ p(z) = \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp -\frac {(z - \mu)^2}{2 \sigma^2} $$
特征：
- 均值即众数，为 $z_m = \overline z = \mu$。
- 70% 概率落在 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 中；
- 95% 概率落在 $(\mu-2\sigma, \mu+2\sigma)$ 中。

iii. 瑞利 (Rayleigh) 噪声

瑞利噪声是通信中常见的噪声。
瑞利噪声 PDF 如下：

$$ p(z) = \begin{cases}

\frac {2(z - a)} b \exp -\frac {(z-a)^2} {b}, & z \ge a \\

0, & z < a

\end{cases} $$
特征：
- 均值 $\overline z = a + \sqrt{\frac {\pi b}{4} }$。
- 方差 $\sigma^2 = \frac {b(4-\pi)}{4}$。
- 众数 $z_m = a + \sqrt{\frac {b}{2}}$。

iv. 爱尔兰 (Erlang) 噪声（伽马噪声）

爱尔兰噪声 PDF 如下（参数 $a > 0, \ b \in \Z^+$）：

$$ p(z) = \begin{cases}

\frac {a^b z^{b-1}} {(b-1)!} {\rm e}^ {-az}, & z \ge 0 \\

0, & z < 0

\end{cases} $$
特征：
- 均值 $\overline z = \frac ba$。
- 方差 $\sigma^2 = \frac b {a^2}$。
- 众数 $z_m = \frac {b-1} a$。

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教材中，通过在给定运动模糊路径 $(x_0(t), y_0(t)) \ \ (t \in [0, T))$ 上求积分的方式确定了原图像 $f(x, y)$ 和运动模糊结果图像 $g(x, y)$ 的关系：

$$ g(x, y) = \int_0^Tf(x-x_0(t), y-y_0(t)) {\rm d}t $$
并且将上述公式转移到频域，计算出了此变换的系统函数（过程略）：

$$ H(u, v) = \int_{0}^{T}{\rm e} ^{-{\rm j} 2\pi (ux_0(t) + vy_0(t))} {\rm d} t, \ \ \ G(u, v) = H(u, v) F(u, v) $$
最终代入线性路径 $x_0(t) = At, \ \ y_0(t) = Bt \ \ (t \in [0, 1])$ ，得到下述系统函数（过程略）：

$$ H[u, v] = \begin{cases}\frac{1}{\pi(ua+vb)} \sin(\pi(ua+vb)) {\rm e}^{-{\rm j} \pi (ua+vb)}, \ \ & ua+vb\neq0 \\ 1, \ \ & ua+vb = 0 \end{cases} $$
- 其结果是一个复数，基本可以划分为幅值部分 $\frac{1}{\pi(ua+vb)} \sin(\pi(ua+vb))$ 和相位部分 ${\rm e}^{-{\rm j} \pi (ua+vb)}$ （不过还要留意所谓幅值部分的正负对相位的影响）
- 上述 $H[u, v]$ 公式并不自带周期循环性质，因而求值时应自行将图像 $(u, v)$ 点的取值范围固定在 $[-\frac C2, \frac C2]\times [-\frac R2, \frac R2]$ 这一有效范围中。
对此线性路径，分别代入 $t=0, 1$ 可以确定运动模糊路径是 $(0, 0)\to (A, B)$ 。因此向量 $(A, B)$ 指定了运动模糊路径的方向和长度。