A 梳状滤波器

A1 反梳状滤波器

• 反梳状滤波器是 FIR 系统。

A1-1 奇次谐波反梳状滤波器

• 当 $\alpha = -1$ 且 $m$ 很小时，为反梳状滤波器。

  $$ y[n] = x[n] - x[n-m] \ \ \ (m > 0)\\

  H(z) = 1 - z^{-m} \\

  \begin{align*}

  H_\omega(\omega) &= 1 - {\rm e}^{-{\rm j}m \omega} \\

  &= {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \left ( {\rm e}^{\frac 12{\rm j}m \omega} - {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \right) \\

  &= 2 {\rm j} {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \sin \frac {m \omega} 2 \\

  &= 2 {\rm e}^{{\rm j} ( \frac \pi 2 - \frac 12m \omega)} \sin \frac {m \omega} 2

  \end{align*} \\

  |H_\omega(\omega)| = 2 \left| \sin \frac {m \omega} 2 \right|, \ \ \ \arg H_\omega(\omega) = \frac \pi 2 - \frac {m \omega}2 $$

• 可分析得知，其第一个峰值对应的数字角频率 $\omega_0 = \frac {\pi} {m}$，对应模拟频率 $f_0 = \frac 1 {2 m}f_s$；那么其各个峰值对应的频率分别为 $f_0, 3f_0, 5f_0, \cdots$。

A1-2 偶次谐波反梳状滤波器

• 当 $\alpha = +1$ 且 $m$ 很小时，为反梳状滤波器。

  $$ y[n] = x[n] + x[n-m] \ \ \ (m > 0)\\

  H(z) = 1 + z^{-m} \\

  \begin{align*}

  H_\omega(\omega) &= 1 + {\rm e}^{-{\rm j}m \omega} \\

  &= {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \left ( {\rm e}^{\frac 12{\rm j}m \omega} + {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \right) \\

  &= 2 {\rm e}^{- \frac 12{\rm j}m \omega} \cos \frac {m \omega} 2

  \end{align*} \\

  |H_\omega(\omega)| = 2 \left| \cos \frac {m \omega} 2 \right|, \ \ \ \arg H_\omega(\omega) = - \frac {m \omega}2 $$

• 可分析得知，如果作其第一个零点的数字角频率 $\omega_0 = \frac {\pi} {m}$，对应模拟频率 $f_0 = \frac 1 {2 m}f_s$；那么其各个峰值的数字角频率和模拟频率分别为 $0, 2 f_0, 4f_0, 6f_0, \cdots$。

A1-3 反梳状滤波器一般表达

• 一般的反梳状滤波器可以表达为：

  $$ y[n] = x[n] + \alpha x[n-m] \ \ \ (m > 0, \alpha \in \R / \{ 0 \})\\

  H(z) = 1 + \alpha z^{-m} \\ $$

• 极点：显然是 $z=0$，是一个 $m$ 重极点。

• 零点：解算 $\alpha z^{-m} = -1$ 即 $z^{m} = -\alpha$，

  • 如果 $\alpha > 0$，有 $z = \sqrt [m] {-1} \sqrt [m] {\alpha}$。

    • $\sqrt [m] {-1}$ 对应的各解 $p$ 应该是在单位圆上且有 $p^m = -1$ 的性质，因而 $p = {\rm e} ^{{\rm j} \frac {2 k + 1} m \pi } \ (k=0, 1, 2, \cdots, m-1)$，如下图。

      

    • 因而零点为 $\sqrt[m] \alpha \cdot{\rm e} ^{{\rm j} \frac {2 k + 1} m \pi } \ (k=0, 1, 2, \cdots, m-1)$。

  • 如果 $\alpha < 0$，有 $z = \sqrt[m]{+1}\sqrt [m] {-\alpha}$，$\sqrt[m]{+1}$ 也是 $m$ 个解，不过是转一下：${\rm e} ^{{\rm j} \frac {2 k} m \pi } \ (k=0, 1, 2, \cdots, m-1)$），故零点为 $\sqrt[m] {-\alpha} \cdot{\rm e} ^{{\rm j} \frac {2 k} m \pi } \ (k=0, 1, 2, \cdots, m-1)$。
  • 也就是在一个半径为 $\sqrt[m] \alpha$ 的圆（如果 $|\alpha|=1$ 就是单位圆）上存在均分的 $d$ 个零点。

• 例子：比如下面是 $\alpha = +0.7$ 和 $\alpha=-2$，$m = 15$ 时的图像。

• 谐波性质：如果 $\alpha>0$，将得到偶数次谐波；如果 $\alpha<0$，是奇数次谐波。
• 最大最小响应
  • 最大响应：
    • 令 $\alpha>0$，代入 $\omega=0$ 即 $z=1, \ z^{-m}=1$ 得到 $|H(0)| = |1 + \alpha|$ 为最大响应。
    • 令 $\alpha < 0$，代入 $\omega = \frac {1} m \pi$ 即 $z={\rm e}^{\frac \pi m}, \ z^{-m} = {\rm e}^{\pi} = -1$ 得到 $|H(\frac \pi m)| = |1 - \alpha|$ 为最大响应。
  • 最小响应：
    • 令 $\alpha > 0$，代入 $\omega = \frac \pi m$ 即 $z={\rm e}^{\frac \pi m}, \ z^{-m} = {\rm e}^{\pi} = -1$ 得到 $|H(\frac \pi m)| = |1 - \alpha|$ 为最小响应。
    • 令 $\alpha < 0$，代入 $\omega = 0$ 即 $z=1, \ z^{-m}=1$ 得到 $|H(0)| = |1 + \alpha|$ 为最小响应。
  • 请注意，最大响应始终比最小响应大。