无论具体情况如何,对于给定房间、声源和录制位置的情形,反射过程都可以看成一个线性的、时不变的系统,由很多声源的延迟副本构成:
$$ y[n] = b_0x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] + \cdots $$
下面用 $y[n] = h[n] * x[n]$ 和 $Y(z) = H(z) X(z)$ 描述这个系统。换句话说,要模拟这个空间产生的混响,只需要将原素材和得到的脉冲响应做卷积即可。
定义信号 $x[n]$ 的逆滤波如下:如果存在一个信号 $r[n]$ 使得 $x[n] * r[n] = \delta[n]$,那么称 $r[n]$ 为 $x[n]$ 的逆滤波,记为 $x^{-1}[n]$。
如果已知一个信号 $x[n]$ 的逆滤波信号 $x^{-1}[n]$,以及此信号 $x[n]$ 通过某卷积系统 $h[n]$(未知)的输出信号 $y[n] = h[n] * x[n]$(已知),对此式子左右同卷积 $x^{-1} [n]$ 可得:
$$ y[n] * x^{-1} [n] = h[n] $$
因而通过输出信号 $y[n]$ 和输入信号的逆滤波信号 $x^{-1}[n]$ 作卷积,就可以求得系统模型 $h[n]$。
利用逆滤波法求解系统模型时,常用的是指数扫描正弦波信号:
在 $T$ 长时间内从开始频率 $f_1$ 指数增长到终止频率 $f_2$ 的变频正弦波为:
$$ s_{\rm ess} (t) = \sin \left(
\frac {2 \pi f_1 T} {\ln \frac {f_2} {f_1}} \left ( \exp \left( \frac t T \ln \frac {f_2} {f_1} \right) - 1\right)
\right) \\
s^{-1}_{\rm ess} (t) = \frac {S(T-t)}{\exp \left( -\frac t T \ln \frac {f_2} {f_1} \right)} $$
其离散形式为:
$$ s_{\rm ess} [n] = \sin \left( \frac {2 \pi f_1} {\ln \frac {f_2} {f_1}} \frac {N-1}{f_s} \left ( \exp \left( \frac {n} {N-1} \ln \frac {f_2} {f_1} \right) - 1\right) \right) \\
s^{-1}_{\rm ess} [n] = \frac {S(N-1-n)}{\exp \left( -\frac {n} {N-1}\ln \frac {f_2} {f_1} \right)} $$
假设扬声器和收音设备对音频造成的影响可以用线性系统 $f[n]$ 和 $g[n]$ 来近似描述,那么有:
$$ x_{\rm dry} [n] = f[n] * g[n] * x_{\rm original} [n] \\
x_{\rm wet} [n] = f[n] * h[n] * g[n] * x_{\rm original} [n] $$
如果使用这样的工作流程:将白噪声 $\delta[n]$ 放出并分别录制其干声和湿声效果,那么得到的是:
$$ \delta_{\rm dry} [n] = f[n] * g[n] * \delta[n] = f[n] * g[n] \\
\delta_{\rm wet} [n] = f[n] * h[n] * g[n] * \delta[n] = f[n] * h[n] * g[n] $$
如果使用指数正弦波扫描等逆滤波方法,则得到的是:
$$ s_{\rm dry} [n] = f[n] * g[n] * s[n] \\
s_{\rm wet} [n] = f[n] * h[n] * g[n] * s[n] \\
f[n] * g[n] = s_{\rm dry} [n] * s^{-1}[n] \\
f[n] * h[n] * g[n] = s_{\rm wet} [n] * s^{-1}[n] $$