A1-1 滤波器研究方法
A1-2 滤波器性能描述
巴特沃斯低通的系统函数满足：
$$ |H_{\rm LP}(\omega)|^2 = \frac {1}{1 + \left( \frac \omega {\omega_c} \right)^{2n}} $$
$\omega_c$ 为截止频率，对应滤波器的（能量）-3dB 点。
$n$ 为阶数，为正整数，越大越接近理想低通滤波器。
然而高阶巴特沃斯滤波器有振铃效应，主要体现在阶跃响应和脉冲响应上。
同时高阶巴特沃斯滤波器更容易受到运算精度的影响，如下是 $n=23$ 时出现的幅频响应精度问题。
巴特沃斯高通满足：
$$ |H_{\rm HP}(\omega)|^2 = 1 - |H_{\rm LP}(\omega)|^2 = \frac {1}{1 + \left( \frac \omega {\omega_c} \right)^{-2n}} $$
$$ |H_{LP}(\omega)|^2 = \frac {1}{1 + \epsilon^2 T^2_n (\frac {\omega}{\omega_0})} $$
其中 $\epsilon$ 为系数， $T^2_n (x)$ 是 $n$ 阶切比雪夫多项式，此多项式分为 I, II 两种类型。
第 I 类切比雪夫多项式为微分方程 $(1-x^2) y'' - xy' + n^2y=0$ 的解，递推方程如下。
$$ T_0(x) = 1, \ \ \ T_1(x)=x, \ \ \ T_{n+1} = 2x T_n (x) - T_{n-1} (x) $$
前 5 个阶次图像如下。它在偶次阶次为偶函数，在奇数阶次为奇函数。
第 II 类切比雪夫多项式为微分方程 $(1-x^2)y'' - 3 xy' + n(n+2) y = 0$ 的解，递推方程如下。
$$ U_0(x) = 1, \ \ \ U_1(x)=2x, \ \ \ U_{n+1} = 2x U_n (x) - U_{n-1} (x) $$
$\omega_0$ 是一个基准频率。3 dB 频率 $\omega_c$ 和 $\omega_0$ 很接近，但具体有一些不同，关系如下：
$$ \omega_c = \omega_0 \cosh \left( \frac 1n \cosh^{-1} \frac 1 \epsilon \right) $$
I 型切比雪夫滤波器具有通带波动。波动幅度为 $G = \frac 1 {\sqrt{1 + \epsilon^2}}$。
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