序、阈值化综述

阈值的选择可以认为是在灰度 PDF 中寻找将两个峰值（能够分别代表前景和背景）区分开来的位置。

也可以理解成一个一维数据的二分类问题。

阈值化技术的缺陷与难点：

• 难以处理反光、阴影、图像内容杂乱（如存在很多不同光线反射率的物体，让 PDF 形成多峰）等问题。
• 事实上，一般提及阈值化的时候，都假定数据满足双峰分布（如文字 OCR）。

即使如此，根据统一性测量的原则进行图像阈值化是有其应用意义的，尤其是在工业计数或监测等场景下，对环境和光照有完全的把握。

阈值化的技巧：

• 可以只选取存在显著强度梯度的位置（即边缘）的周遭进行统计，以确保前景和背景的像素数目大致相等，排除因分布造成的偏差。
• 为了解决不均匀光照的问题，可以采用的方法：
  1. 转而使用区域生长方法（略）进行二值化。
  2. 对图像内背景建模，背景图像指的是没有任何物体的情况下的背景。
  3. 对每个像素求局部阈值而非整体阈值。将在最后的部分阐述。

一、基于方差的阈值求解（大津算法）

0. 阈值求解涉及的定义

• 灰度图像的定义：给进一个由 $N$ 个像素点构成的灰度图像，灰度值的取值范围为 $\Omega=[0, L)\cap \Z$。对于每个灰度值 $i\in \Omega$，已知图像中取得此灰度值的像素数目为 $n_i$（即出现频次），出现概率为 $p_i=n_i/N$。
• 阈值与类别的定义：对于一个阈值 $k\in(0, L)\cap \Z$，它能将灰度集合 $\Omega$ 划分为前、后两个「类别」 $\Omega_0(k)=[0, k)\cap \Z, \ \Omega_1(k)=[k, L)\cap \Z$。

1. 大津算法的优化目标

Otsu, N. A threshold selection method from gray-level histogram. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 9, 62-66. 1979 https://u-aizu.ac.jp/course/bmclass/documents/otsu1979.pdf

• 类内方差与类间方差的定义：对于一个样本量为 $N$、均值为 $\mu$、方差为 $\sigma$ 的样本整体，将其通过阈值划分为数量分别为 $N_0, N_1$ 即占比分别为 $\omega_0, \omega_1$ 的两个类别，且两个类别内各自的均值分别为 $\mu_0, \mu_1$、方差分别为 $\sigma_0, \sigma_1$ ，则有定义：

  • 二类别的类内方差（within-class variance）：$\sigma_w^2=\omega_0\sigma_0^2 + \omega_1\sigma_1^2$

  • 二类别的类间方差（between-class variance, BCV）：$\sigma_b^2=\omega_0(\mu - \mu_0)^2 + \omega_1(\mu - \mu_1)^2$

  • 借助下图可以理解上述两个概念公式的意义。类内方差是指各类别内部方差 $\sigma_0^2, \sigma_1^2$ 的加权和（权重即为类别占整体样本的比例）；类间方差则是各类别均值 $\mu_0, \mu_1$ 偏离整体均值 $\mu$ 的程度（$(\mu - \mu_0)^2, (\mu - \mu_1)^2$）的加权和。

    

  • 另有 $\sigma_w^2 + \sigma_b^2= \sigma^2$，证略。

• 大津算法的目的：找到一个最优的阈值 $K$，它能够让前后两类别灰度值的类间方差 $\sigma_b^2$ 最大，或者说 $\sigma_b^2 / \sigma_w^2$ 最大。

2. 大津算法的实现

根据以上定义，一种最简单的算法伪代码如下：

统计图像中各灰度值出现的频次 n[0], n[1], ... n[L-1]
统计样本整体的均值 mu（公式1）
枚举每个阈值 k，从 1 到 L-1：
　　统计前类别的均值 mu0（前类别的灰度集合是 i 从 0 到 k-1）（公式2）
　　统计后类别的均值 mu1（后类别的灰度集合是 i 从 k 到 L-1）（公式2）
　　计算 sigma2_b（公式3）
　　维持类间方差的当前最大值 sigma2_b_max 和对应的阈值 k_maxi
求得让类间方差最大化的阈值 k_maxi

涉及的公式：

1. 通过频次数据 $n_i$ 统计均值 $\mu$：

   $$ \mu = \frac{\sum_{i=0}^{L-1} n_i \cdot i}{N} $$

2. 通过频次数据 $n_i$ 统计前后类别的均值 $\mu_0, \mu_1$：

   $$ \mu_0 = \frac{\sum_{i=0}^{k-1} n_i \cdot i}{N_0} = \frac{\sum_{i=0}^{k-1} n_i \cdot i}{\omega_0N} \ \ \ \ \ \left( \omega_0=\frac{\sum_{i=0}^{k-1} n_i }{N} \right) $$

   $$ \mu_1 = \frac{\sum_{i=k}^{L-1} n_i \cdot i}{N_1} = \frac{\sum_{i=k}^{L-1} n_i \cdot i}{\omega_1N} \ \ \ \ \ \left( \omega_1=\frac{\sum_{i=k}^{L-1} n_i }{N} \right) $$

3. 二类别的类间方差公式：

   $$ \sigma_b^2=\omega_0(\mu - \mu_0)^2 + \omega_1(\mu - \mu_1)^2 $$