对于线性方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 而言（$\boldsymbol A \in {\mathbb C}^{R \times C}$），解的情况列出如下：
线性方程组通解的结构如下：
确定任意一个满足 $\boldsymbol A \boldsymbol \eta^* = \boldsymbol b$ 的特解 $\boldsymbol \eta^*$ 和齐次解的结构式 $\boldsymbol \xi$（$\boldsymbol A \boldsymbol \xi =\boldsymbol 0$），就有通解的结构式：
$$ \boldsymbol x^* = \boldsymbol \eta^* + \boldsymbol \xi $$
对于任意满足 $\boldsymbol Y^2 = \boldsymbol Y$ 的幂等方阵 $\boldsymbol Y \in {\mathbb C}^{N \times N}$，其一个重要的性质是 ${\rm r} (\boldsymbol Y -\boldsymbol I) = N - {\rm r} (\boldsymbol Y)$ 。
证明
先要证明两个命题。
- $\forall \, \boldsymbol A, \boldsymbol B \in {\mathbb C}^{R \times C}, \ {\rm r}(\boldsymbol A + \boldsymbol B) \le {\rm r}(\boldsymbol A) + {\rm r}(\boldsymbol B)$。
- $\forall \, \boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol O \, (\boldsymbol A \in {\mathbb C}^{R \times K}, \, \boldsymbol B \in {\mathbb C}^{K \times C}), \ {\rm r}(\boldsymbol B) \le K - {\rm r}(\boldsymbol A)$。
两个命题的推导
- 考虑其列向量组张成的空间易得。两个空间加起来不可能衍生出新的维度。
- $\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol O$ 即 $\boldsymbol A \boldsymbol b_i = \boldsymbol 0$，即 $\boldsymbol B$ 中各列向量均在 $\boldsymbol A$ 的核空间中，故它们张成的空间的维数不会超过 $\boldsymbol A$ 的核空间的维数（即零化度）。
于是对于幂等矩阵 $\boldsymbol Y$，
- 依 $\boldsymbol I_N = \boldsymbol Y + (\boldsymbol Y - \boldsymbol I)$ 据命题 1 得到 ${\rm r}(\boldsymbol I_N) \le {\rm r}(\boldsymbol Y) + {\rm r}(\boldsymbol Y - \boldsymbol I)$，即 ${\rm r}(\boldsymbol Y) + {\rm r}(\boldsymbol Y - \boldsymbol I) \ge N$。
- 依 $\boldsymbol Y(\boldsymbol Y - \boldsymbol I) = \boldsymbol O$ 据命题 2 得到 ${\rm r} (\boldsymbol Y - \boldsymbol I) \le N - {\rm r} (\boldsymbol Y)$ 即 ${\rm r} (\boldsymbol Y) + {\rm r} (\boldsymbol Y - \boldsymbol I) \le N$。
于是得到 ${\rm r}(\boldsymbol Y) + {\rm r}(\boldsymbol Y - \boldsymbol I) = N$ 即 ${\rm r} (\boldsymbol Y -\boldsymbol I) = N - {\rm r} (\boldsymbol Y)$ 。
对于任意齐次方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$，对于 $\boldsymbol A \in {\mathbb C}^{R \times C}$，作其任意一个减号逆 $\boldsymbol G \in {\mathbb C}^{C \times R}$，有 $\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A = \boldsymbol A$。现在要证明 ${\rm r}(\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) = C - {\rm r}(\boldsymbol A)$，即 $\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A$ 的列生成空间与 $\boldsymbol A$ 的核空间同构。
证明
- 首先据 $\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A = \boldsymbol A$ 有 $\boldsymbol G \boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A = \boldsymbol G \boldsymbol A$，即 $C \times C$ 方阵 $\boldsymbol G \boldsymbol A$ 为幂等矩阵（$\boldsymbol X^2 = \boldsymbol X$）。因而根据幂等矩阵的上述性质有 ${\rm r} (\boldsymbol G \boldsymbol A -\boldsymbol I) = C - {\rm r} (\boldsymbol G \boldsymbol A)$ 。
- 其次考察 ${\rm r}(\boldsymbol G \boldsymbol A)$。根据任何 ${\rm r}(\boldsymbol X \boldsymbol Y) \le \min \{ {\rm r} (\boldsymbol X), {\rm r} (\boldsymbol Y) \}$：
- 首先 ${\rm r} (\boldsymbol A) = {\rm r} (\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A) \le {\rm r}(\boldsymbol G \boldsymbol A)$ 即 ${\rm r}(\boldsymbol G \boldsymbol A) \ge {\rm r} (\boldsymbol A)$。
- 其次自然是 ${\rm r}(\boldsymbol G \boldsymbol A) \le {\rm r} (\boldsymbol A)$，故 ${\rm r}(\boldsymbol G \boldsymbol A) = {\rm r} (\boldsymbol A)$。
- 加之任何 ${\rm r}(\boldsymbol X) = {\rm r}(-\boldsymbol X)$，最终导出 ${\rm r}(\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) = C - {\rm r}(\boldsymbol A)$。
然后证明 $\boldsymbol I -\boldsymbol G \boldsymbol A$ 是一个像集为 $\boldsymbol A$ 的核空间的线性映射：$\forall \, \boldsymbol t \in {\mathbb C}^{C}$，$\boldsymbol \xi(\boldsymbol t) = (\boldsymbol I -\boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t$ 是齐次方程 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的解。
证明
$\boldsymbol A (\boldsymbol \xi(\boldsymbol t)) = \boldsymbol A (\boldsymbol I -\boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t = (\boldsymbol A - \boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t = \boldsymbol 0$。
最后证明此映射是一个满射：$\forall \, \boldsymbol \xi^* \, {\rm s.t. } \, \boldsymbol A \boldsymbol \xi^* = \boldsymbol 0, \ \exists \, \boldsymbol t^* \in {\mathbb C}^{C} \, {\rm s.t.} \, \boldsymbol \xi^* = (\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t^*$。
证明
$\forall \, \boldsymbol \xi^* \, {\rm s.t. } \, \boldsymbol A \boldsymbol \xi^* = \boldsymbol 0$，构造 $\boldsymbol t^* = \boldsymbol \xi^*$，即有：
$(\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t^* = (\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol \xi^* = \boldsymbol \xi^* - \boldsymbol G \boldsymbol A \boldsymbol \xi^* = \boldsymbol \xi^* - \boldsymbol G \boldsymbol0 = \boldsymbol \xi^*$。
结论：$\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A$ 的列生成空间即为 $\boldsymbol A$ 的解空间，同时它作为线性变换能将任意 $\boldsymbol t \in {\mathbb C}^C$ 映射为 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的解，且是一个满射。于是 $\boldsymbol \xi(\boldsymbol t) = (\boldsymbol I -\boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t$ 又被称作由 $\boldsymbol G$ 引出的齐次通解。
对于任意相容的线性方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b$，对于 $\boldsymbol A \in {\mathbb C}^{R \times C}$，作其任意一个减号逆 $\boldsymbol G \in {\mathbb C}^{C \times R}$。首先要证明 $\boldsymbol \eta^* = \boldsymbol G \boldsymbol b$ 是此相容方程组的一个特解，称为由 $\boldsymbol G$ 引出的特解。
证明
相容的线性方程组一定存在解，设任意解 $\tilde {\boldsymbol x}$ 使得 $\boldsymbol A \tilde {\boldsymbol x} = \boldsymbol b$。据 $\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A = \boldsymbol A$ 得 $\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol A \tilde {\boldsymbol x} = \boldsymbol A \tilde {\boldsymbol x}$ 即 $\boldsymbol A \boldsymbol G \boldsymbol b = \boldsymbol b$。于是显然作 $\boldsymbol \eta^* = \boldsymbol G \boldsymbol b$ 是此线性方程组的一个特解。
因而 $\forall \, \boldsymbol t \in {\mathbb C}^{C}$，此相容方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的通解的结构式可以被完备地表示为（称为由 $\boldsymbol G$ 引出的通解）：
$$ \boldsymbol x^(\boldsymbol t) = \boldsymbol \eta^ + \boldsymbol \xi(\boldsymbol t) = \boldsymbol G \boldsymbol b + (\boldsymbol I - \boldsymbol G \boldsymbol A) \boldsymbol t $$
如果将其理解为一个映射 $\boldsymbol x^*(\boldsymbol t)$（当 $\boldsymbol b \neq \boldsymbol 0$ 时有常数项，于是是非线性的），易证它是从 ${\mathbb C}^C$ 到 $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的解集的满射。