S 前言

S1 乐音的和谐性

• 就算是在频谱上呈现出多条高次谐波的乐音，也能分出所谓的和谐的 (harmonic) 和不和谐的 (inharmonic)。
• 最和谐的八度谐波，每个谐波是 $kf_0 \ (k \in \Z^+)$。但除此之外，还会有奇数次谐波 $(2k-1) f_0 \ (k \in \Z^+)$，五度音谐波等。

A 环形调制（Ring Modulation）

A1 环形调制的概念

• 这是积化和差公式。

  $$ \begin{align*}

  \sin a \cos b &= \frac 12 ( \sin (a+b) + \sin (a-b)) \\

  \cos a \sin b &= \frac 12 (\sin(a+b) -\sin(a-b)) \\

  \cos a \cos b &= \frac 12 (\cos(a+b) + \cos(a-b)) \\

  \sin a \sin b &= -\frac 12 (\cos(a+b)-\cos(a-b))

  \end{align*} $$

• 可以推出，两个正弦波信号相乘，等价于它们和频率信号与差频率信号之和：

  $$ \cos(2\pi f_a t + \phi) \cos(2\pi f_b t + \psi) = \\

  \frac 12 (\cos(2\pi( f_a + f_b)t + (\phi + \psi)) + \cos(2\pi( f_a - f_b)t + (\phi - \psi))) $$

  • 因而，460Hz 和 500Hz 的信号相乘，相当于 40Hz 和 960Hz 的信号之和。

  • 总的来说，两正弦信号相乘会呈现出如下三种情况之一：

    

    

    

• 奇数次谐波调制：对具备 $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, \cdots, N\alpha$ 的整数倍谐波信号做 $\beta = \alpha / 2$ 的环形调制，得到的结果是奇数次谐波，如下：

  $$ \frac 12 \alpha, \frac 32 \alpha, \frac 32 \alpha, \frac 52 \alpha, \frac 52 \alpha, \cdots, \left(N-\frac12\right)\alpha, \left(N-\frac12\right)\alpha, \left(N+\frac12\right)\alpha $$

  • 不过这种方法有一个缺点，那就是基频会变成原来的 1/2 倍弱。

A2 环形调制的逆向使用：两个频率非常接近的信号做加法

• 在这种情形下，需要利用的是和差化积公式。

  $$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x + y}{2}\cos\frac{x - y}{2} \\

  \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2} \\

  \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x + y}{2}\cos\frac{x - y}{2} \\

  \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x + y}{2}\sin\frac{x - y}{2} $$

• 可以推出，两个正弦波相加，等价于两个正弦波相乘：

  $$ \cos(2\pi f_a t + \phi) +\cos(2\pi f_b t + \psi) = \\

  2 \cos\left(2\pi \frac {f_a + f_b} 2 t + \frac {\phi + \psi}{2}\right) \cos\left(2\pi\frac {f_a - f_b} 2 t + \frac {\phi - \psi}{2}\right) $$

  • 据此，440Hz 和 444Hz 的正弦波做加法，相当于 442Hz 和 0.5Hz 乘起来的效果，体现的效果听起来就是音量发生周期性摇摆。

  

B 幅度调制 (Amplitude Modulation)

• 宗旨：把需要传输的音频信号，调制在单一频率的电磁波（频率非常高）的振幅上，这样电磁波的包络形状就等同于传输的音频。

  

• 单频率幅度调制的例子：用一个较低频率 $f_m$ 的有偏移正弦波（调制波）乘上一个较高频率 $f_c$ 的正弦波（载波）。

  $$ x(t) = (A_m \cos(2 \pi f_m t)+ A_c) \cos(2\pi f_c t) $$

  • 应该有 $A_m \le A_c$，否则调制波会过到 0 处。

    

• 频率分析：

  $$ \begin{align*}

  x(t) &= A_m \cos(2\pi f_m t) \cos(2\pi f_c t)+ A_c\cos(2\pi f_c t) \ \ (A_m < A_c) \\

  &= \frac {A_m} 2 (\cos(2\pi( f_c + f_m)t) + \cos(2\pi( f_c - f_m)t))

  • A_c \cos(2\pi f_c t)

  \end{align*} $$

  • 可发现得到 3 个频率：一个是载波本身 $f_c$，一个是载波频率与调制波频率相减的下频带频率 $f_c - f_m$，一个是两个频率相加的上频带频率 $f_c + f_m$。载波本身相位没有变化，但上下频带的频率与原始的调制波形fm比，相位都发生了变化。

    

• 应用：最早期模拟机器人的声音就是用这种方法。

C 频率调制（相位调制）

频率调制的要义是对波的频率进行动态的调整。