绪、记录化简变换（相抵分解）

由单位矩阵 $\boldsymbol E$ 经过一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵，多次则叫复合变换或者化简变换。
- 初等变换（矩阵）包括交换 $\boldsymbol P_{ij}$、数乘 $\boldsymbol D_i(k)$、加乘 $\boldsymbol T _{i \to j} (k)$ 三种。
- 因为初等矩阵都可逆（各初等矩阵都有对应的逆变换），因而它们的复合也是可逆的。
矩阵左乘初等矩阵的作用是进行对应行变换。右乘初等矩阵的作用是进行对应列变换。

对矩阵 $\boldsymbol A_{R\times C}$ 在进行变换的时候：
- 在右方附上单位矩阵 $\boldsymbol E_R$ 一并变换，就能记录经过的行复合变换 $\boldsymbol P$；
- 在下方附上单位矩阵 $\boldsymbol E_C$ 一并变换，就能记录经过的列复合变换 $\boldsymbol Q$。
如果矩阵最终变为 $\boldsymbol B$，就有 $\boldsymbol P \boldsymbol A \boldsymbol Q = \boldsymbol B$，因 $\boldsymbol P, \boldsymbol Q$ 可逆，这也就记录了能让 $\boldsymbol A, \boldsymbol B$ 矩阵相抵的 $\boldsymbol P, \boldsymbol Q$ 矩阵。
如果仅做初等行变换，那就是左乘变换（$\boldsymbol P \boldsymbol A = \boldsymbol B$，其中 $\boldsymbol P$ 可逆）。

只做初等行变换，可以将矩阵化简得到其行最简形（是唯一的）。
- 之中有 $r$ 个自然向量 $\boldsymbol \epsilon_1, \boldsymbol \epsilon_2, \cdots, \boldsymbol \epsilon_r$，整个矩阵的所有列向量都能被它们线性表出。
继续做初等列变换，还可以得到其等价标准形（是唯一的）。记为：

$$ {\bold {std}}{R \times C} ^r = \begin{bmatrix} \boldsymbol E_r & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol O \\ \end{bmatrix}{R \times C} $$

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这里将化简变换 $\boldsymbol P \boldsymbol A \boldsymbol Q = {\bold {std}}_{R \times C}^{{\rm r}(\boldsymbol A)}$ 称为相抵标准化（相抵分解）。

可逆方阵求逆：仅做初等行变换将可逆方阵 $\boldsymbol A$ 化为 $\boldsymbol E$，也就有 $\boldsymbol P \boldsymbol A = \boldsymbol E$ 即 $\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol P$。这也就是为什么附带一个单位矩阵，将可逆矩阵化为单位矩阵时，原来的单位矩阵就能变为其逆矩阵。
求减号逆（详见「第 A3 章: 二、」）。

一、矩阵的满秩分解

适用于方阵与非方阵的分解。将矩阵分解为两个满秩矩阵乘积的具体方法。