Cartesian：笛卡尔坐标系

一、点乘

Dot Product = Scalar Product 涉及向量间的夹角的余弦。

For unit vectors,

$\cos \theta = \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$

$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a = ||\boldsymbol a || ^2$

点乘的应用：计算夹角、正反向、向量投影

• 找到两个向量 / 方向的夹角（如光源和平面的）

  $$ \cos \theta = \frac{\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b}{||\boldsymbol a || \cdot || \boldsymbol b ||} $$

• 判断正反向。

  

• 把一个向量投影到另一个向量上（向量的分解）

  

  

二、叉乘

UE：左手坐标系

注意：左叉乘的操作可以对应上一个矩阵变换，由此衍生出对偶矩阵的问题。

⭐ 叉积的应用：判断左右、内外

<aside> 📌 面试重点题来了

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• 判断左右： 想要判断任意向量 $\boldsymbol a$ 相对于向量 $\boldsymbol v$ 的左右性（假设它们都在 xy 平面内，如果不在的话可以做投影等变换将其投影到 xy 平面内），应该做叉积判断其在 $z$ 轴上的正负（称为 $// \boldsymbol a //$。

• 判断内外：假设有一个逆时针走的三角形在 xy 平面内，判断如下式子即可说明其在内侧，反之在外侧。其实就是说P点同在三边的左边。

  $$ \left/\left/\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}\right/\right/ > 0, \ \ \left/\left/\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BP}\right/\right/ > 0, \ \ \left/\left/\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CP}\right/\right/ > 0 $$

  

  拓展：

  • 如果不能确定三角形是顺时针还是逆时针，那也可以，判断它三次结果的正负性是否都一样即可，都一样的是内侧，不一样的是外侧。
  • 如果三角形变成其他平面多边形，同理。
  • 如果平面多边形不在 xy 平面内，需要做投影之类的操作将它和 P 点一起投影到 xy 平面内。

<aside> 📌 总结

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附：

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三、坐标系