一、对称矩阵与埃尔米特矩阵

1. **对称（**埃尔米特 Hermitian）变换的定义

• 设 $\sigma$ 为欧式空间 $V$ 中一个线性变换，如果有下式成立，则称 $\sigma$ 为对称变换。

  $$ \forall \, \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V, \ ({\mathscr A}(\boldsymbol \alpha), \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \alpha, {\mathscr A}(\boldsymbol \beta)) $$

设 $\sigma$ 为酉空间 $W$ 中一个线性变换，如果有上式成立，则称 $\sigma$ 为埃尔米特变换。

2. 对称（埃尔米特）变换对应的矩阵

• 欧式空间 $V$ 中一个线性变换 $\sigma$ 为对称变换的充要条件：在任一组标准正交基下的矩阵 $\boldsymbol T$ 为对称矩阵（$\boldsymbol T^{\rm T} = \boldsymbol T$）。

酉空间 $W$ 中一个线性变换 $\sigma$ 为埃尔米特变换的充要条件：在任一组标准正交基下的矩阵 $\boldsymbol T$ 为埃尔米特矩阵（自伴矩阵）（$\boldsymbol T^{\rm H} = \boldsymbol T$）。

• 另外，满足 $\boldsymbol T^{\rm H} = -\boldsymbol T$ 的矩阵叫反埃尔米特矩阵。

对称变换充要条件的证明

必要性：

• $V^n$ 中一个对称变换 ${\mathscr A}$ 在标准正交基 $\boldsymbol \epsilon_1, \boldsymbol \epsilon_2, \cdots, \boldsymbol \epsilon_n$（基 $\Epsilon$）下的矩阵设为：

  $$ \boldsymbol A = \begin{bmatrix}

  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\

  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\

  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\

  \end{bmatrix} $$

• 请注意，根据线性变换在基下矩阵的定义，有：

  $$ {\mathscr A} (\boldsymbol \epsilon_k) = a_{1k} \boldsymbol \epsilon_1 + a_{2k} \boldsymbol \epsilon_2 + \cdots + a_{nk} \boldsymbol \epsilon_n $$

• 根据 $\forall \, \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$ 有对称变换的定义 $({\mathscr A}(\boldsymbol \alpha), \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \alpha, {\mathscr A}(\boldsymbol \beta))$ ，令 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol \epsilon_i, \, \boldsymbol \beta = \boldsymbol \epsilon_j$，就有：

  $$ ({\mathscr A} (\boldsymbol \epsilon_i), \boldsymbol \epsilon_j) = (\boldsymbol \epsilon_i, {\mathscr A} (\boldsymbol \epsilon_j)) \\

  (a_{1i} \boldsymbol \epsilon_1 + a_{2i} \boldsymbol \epsilon_2 + \cdots + a_{ni} \boldsymbol \epsilon_n, \boldsymbol \epsilon_j) = (\boldsymbol \epsilon_i, a_{1j} \boldsymbol \epsilon_1 + a_{2j} \boldsymbol \epsilon_2 + \cdots + a_{nj} \boldsymbol \epsilon_n) \\ $$

• 按照内积运算法则展开上式即得 $a_{ji} = a_{ij}$，故 $\boldsymbol A^{\rm T} = \boldsymbol A$。

充分性：

• 设 $V^n$ 中一个线性变换 ${\mathscr A}$，在标准正交基 $\boldsymbol \epsilon_1, \boldsymbol \epsilon_2, \cdots, \boldsymbol \epsilon_n$（基 $\Epsilon$）下的矩阵 $\boldsymbol A$ 有 $\boldsymbol A^{\rm T} = \boldsymbol A$。
• 那么此基下任何坐标 $\forall \, \boldsymbol x, \boldsymbol y \in \R^n$ 有 $(\boldsymbol A \boldsymbol x, \boldsymbol y) = (\boldsymbol A \boldsymbol x)^{\rm T} \boldsymbol y = \boldsymbol x^{\rm T} \boldsymbol A^{\rm T} \boldsymbol y = (\boldsymbol x, \boldsymbol A^{\rm T} \boldsymbol y)$（这对所有线性变换都成立）。
• 再加之 $\boldsymbol A^{\rm T} = \boldsymbol A$，因而 $(\boldsymbol A \boldsymbol x, \boldsymbol y) = (\boldsymbol x, \boldsymbol A \boldsymbol y)$ 即对应的 $\forall \, \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$ 有 $({\mathscr A}(\boldsymbol \alpha), \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \alpha, {\mathscr A}(\boldsymbol \beta))$。

3. 矩阵在内积中的转移定理

• 对任何矩阵 $\boldsymbol A \in \R^{R \times C}$，都有 $\forall \, \boldsymbol x, \boldsymbol y \in \R^n, \ (\boldsymbol A \boldsymbol x, \boldsymbol y) = (\boldsymbol x, \boldsymbol A^{\rm T} \boldsymbol y)$（证明见上「充分性」）。
• 如果 $\boldsymbol A$ 是对称矩阵，那么就有 $(\boldsymbol A \boldsymbol x, \boldsymbol y) = (\boldsymbol x, \boldsymbol A \boldsymbol y)$。

二、酉交相似上三角化、实对角化

• 称 $\boldsymbol P^{\rm H} \boldsymbol A \boldsymbol P = \boldsymbol B$ 关系为酉相似（对应实矩阵范畴的相似）。
  • 当 $\boldsymbol P$ 为酉交矩阵时称酉交相似（对应实矩阵范畴的正交相似）。

1. 复矩阵一定酉交相似于上三角复矩阵（舒尔定理）

• $\forall \, \boldsymbol A \in {\mathbb C}^{n \times n}$，存在酉交矩阵 $\boldsymbol U \in {\mathbb C}^{n \times n}$ 和上三角矩阵 $\boldsymbol T \in {\mathbb C}^{n \times n}$，使得 $\boldsymbol U^{\rm H} \boldsymbol A \boldsymbol U = \boldsymbol T$，并且式中 $\boldsymbol T$ 的主对角元是 $\boldsymbol A$ 的特征值（证略）。

2. 所有特征值均为实数的实矩阵一定正交相似于上三角实矩阵（？）

• 对于 $\boldsymbol A \in {\mathbb R}^{n \times n}$，如果其所有特征值均为实数，那么存在正交矩阵 $\boldsymbol Q \in {\mathbb R}^{n \times n}$ 和上三角矩阵 $\boldsymbol T \in {\mathbb R}^{n \times n}$，使得 $\boldsymbol Q^{\rm T} \boldsymbol A \boldsymbol Q = \boldsymbol T$，并且 $\boldsymbol T$ 的主对角元是 $\boldsymbol A$ 的特征值。

3. 埃尔米特矩阵一定酉交相似于实对角矩阵

• 对于 $\boldsymbol A \in {\mathbb C}^{n \times n}$，如果其为埃尔米特矩阵，那么存在酉交矩阵 $\boldsymbol U \in {\mathbb C}^{n \times n}$ 和实对角矩阵 $\boldsymbol \Lambda \in {\mathbb R}^{n \times n}$，使得 $\boldsymbol U^{\rm H} \boldsymbol A \boldsymbol U = \boldsymbol \Lambda$，并且 $\boldsymbol \Lambda$ 的各元素即为 $\boldsymbol A$ 的特征值（且各特征值均为实数）。