对任意凸集 $D, D_1, D_2 \subset \R^N$：
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凸集的交 $D_1 \cap D_2$ 仍是凸集。
- 但请留意有可能交完的结果是空集。
<aside> 💡
尤其要记得一般半空间的交仍构成凸集，这就包括：
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一组一般半空间构成的多面体 $\{ \boldsymbol x | \boldsymbol A \boldsymbol x \, (\le, <, \ge, >) \, \boldsymbol b \}$。
- 也能继续推出 $\{ \boldsymbol x | \boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b \}$ 也是凸集。
- 也能继续推出高维正交长方体 $\{ \boldsymbol x \in \R^N \, | \, \boldsymbol a \le \boldsymbol x \le \boldsymbol b \}$ 也是凸集。 </aside>
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顺带一提，线性(子)空间的交也是线性(子)空间。
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凸集的「元素和」$D_1 \oplus D_2 = \{ \boldsymbol x_1 + \boldsymbol x_2 \, | \, \boldsymbol x_1 \in D_1, \boldsymbol x_2 \in D_2 \}$ 仍是凸集。
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凸集的「元素数乘」$\alpha \odot D = \{ \alpha \boldsymbol x \, | \, \boldsymbol x \in D \}$ 仍是凸集。
- 于是对凸集间元素进行固定线性组合的结果仍然是凸集。
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凸集的「元素线性变换」$\boldsymbol A \otimes D = \{ \boldsymbol A \boldsymbol x \, | \, \boldsymbol x \in D \}$ 仍是凸集（$\boldsymbol A \in \R^{M \times N}$）。说明线性变换保持点集的凸性质。
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凸集的「元素仿射变换」$\{ \boldsymbol A \boldsymbol x + \boldsymbol b \, | \, \boldsymbol x \in D \}$ 也仍是凸集（$\boldsymbol A \in \R^{M \times N}$）。说明仿射变换保持点集的凸性质。
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凸集的「元素透视变换」也仍是凸集。具体而言，如果集合 $D$ 是凸集且：
$$ D \subseteq \left\{ \left. \begin{bmatrix} \boldsymbol x \\ t\end{bmatrix} \right| \boldsymbol x \in \R^n, t > 0 \right\} $$
那么其透视变换所得的集合 $S$（如下）也是凸集：
$$ S \subseteq \left\{ \frac {\boldsymbol x} t \left| \begin{bmatrix} \boldsymbol x \\ t\end{bmatrix} \in D \right. \right\} $$
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凸集的「元素分式线性变换」也仍是凸集：
$$ \left\{ \left. \frac { \boldsymbol A \boldsymbol x + \boldsymbol b}{ \boldsymbol c^{\rm T} \boldsymbol x + d } \,\right| \boldsymbol x \in D, \, \boldsymbol c^{\rm T} \boldsymbol x + d > 0 \right\} $$
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凸集 $D$ 的闭包 ${\rm cl} (D)$ 还是凸集（证略）。
证明
证明凸集的交 $D_1 \cap D_2$ 仍是凸集。
- 设 $\boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in D_1 \cap D_2$。令 $\lambda \in [0, 1]$。
- 由 $\boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_2 \in D_1$ 得到 $\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2 \in D_1$。
- 由 $\boldsymbol x_1 , \boldsymbol x_2 \in D_2$ 得到 $\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2 \in D_2$。
- 因而 $\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2 \in D_1 \cap D_2$。
证明凸集的元素和 $D_1 \oplus D_2$ 仍是凸集。
设 $\boldsymbol x, \boldsymbol y \in D_1 \oplus D_2$，存在 $\boldsymbol x = \boldsymbol x_1 + \boldsymbol x_2, \, \boldsymbol y = \boldsymbol y_1 + \boldsymbol y_2$，其中 $\boldsymbol x_1, \boldsymbol y_1 \in D_1, \ \boldsymbol x_2, \boldsymbol y_2 \in D_2$。令 $\lambda \in [0, 1]$。
- 由 $\boldsymbol x_1 , \boldsymbol y_1 \in D_1$ 得到 $\boldsymbol z_1 = \lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol y_1 \in D_1$。
- 由 $\boldsymbol x_2 , \boldsymbol y_2 \in D_2$ 得到 $\boldsymbol z_2 = \lambda \boldsymbol x_2 + (1-\lambda) \boldsymbol y_2 \in D_2$。
- 由于 $\boldsymbol z_1 \in D_1, \, \boldsymbol z_2 \in D_2$，因而 $\boldsymbol z_1 + \boldsymbol z_2 \in D_1 \oplus D_2$。
又：
$$ \begin{align*}
\lambda \boldsymbol x + (1-\lambda) \boldsymbol y
&= \lambda (\boldsymbol x_1 + \boldsymbol x_2) + (1-\lambda) (\boldsymbol y_1 + \boldsymbol y_2) \\
&= \boldsymbol z_1 + \boldsymbol z_2
\end{align*} $$
故 $\lambda \boldsymbol x + (1-\lambda) \boldsymbol y \in D_1 \oplus D_2$。
证明凸集的数乘 $\alpha \odot D$ 仍是凸集。
设 $\boldsymbol y_1, \boldsymbol y_2 \in \alpha \odot D$。一定存在 $\boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in D$ 使得 $\boldsymbol y_1 = \alpha \boldsymbol x_1, \, \boldsymbol y_2 = \alpha \boldsymbol x_2$。
$\boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in D$ 导出对于 $\lambda \in [0, 1]$，$\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2 \in D$。那么：
$$ \lambda \boldsymbol y_1 + (1-\lambda) \boldsymbol y_2
= \alpha (\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2)
\in \alpha \odot D $$
证明凸集的线性变换 $\boldsymbol A \otimes D = \{ \boldsymbol A \boldsymbol x \, | \, \boldsymbol x \in D \}$ 仍是凸集。其中 $D \subset \R^N$ 为凸集，$\boldsymbol A \in \R^{M \times N}$ 即 $\boldsymbol A \otimes D \subset \R^M$。
设 $\boldsymbol y_1, \boldsymbol y_2 \in \boldsymbol A \otimes D$。一定存在 $\boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in D$ 使得 $\boldsymbol y_1 = \boldsymbol A \boldsymbol x_1, \, \boldsymbol y_2 = \boldsymbol A \boldsymbol x_2$。
$\boldsymbol x_1, \boldsymbol x_2 \in D$ 根据凸集定义即对于任何 $\lambda \in [0, 1]$，$\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2 \in D$。那么：
$$ \lambda \boldsymbol y_1 + (1-\lambda) \boldsymbol y_2
= \boldsymbol A (\lambda \boldsymbol x_1 + (1-\lambda) \boldsymbol x_2)
\in \boldsymbol A \otimes D $$
