⭐⭐⭐ 一、二阶、三阶、$n$ 阶行列式（determinant）

$$ \det \boldsymbol A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

$$ \det \boldsymbol A =\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh $$

$$ \det \boldsymbol A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} = \sum_{p_1, p_2, \cdots, p_N} (-1)^{R(p_1p_2\cdots p_N)} a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{Np_N} $$

其中求和枚举的是 $n$ 元排列 $p_1, p_2, \cdots, p_N$，此排列的逆序数记为 $R(p_1, p_2, \cdots, p_N)$。

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只需知道它是将一个方阵变成一个数。

二阶行列式、三阶行列式的计算。

几何意义是平行四边形有向面积（二维）、平行六面体体积（三维）。

为什么行列式恰好能表示体积？ - 知乎

⭐⭐ 二、行列式的运算性质

转置（transpose）：

$$ \det \boldsymbol A^{\rm T} = \det \boldsymbol A $$
交换任意两行（列），行列式的值改变符号。
- 推论：如果行列式中有两行（列）相同，则行列式的值为 $0$。
行（列）的数乘（scalar multiplication）：

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{u1} & ka_{u2} & \cdots & ka_{uN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{u1} & a_{u2} & \cdots & a_{uN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} $$
- 推论 1：如果行列式中某一行（列）的值全为 $0$，则行列式的值为 $0$。
- 推论 2：如果行列式中某两行（列）的值成比例，则行列式的值为 $0$。

⭐⭐ 三、行列式的计算（三角化）

上 / 下三角形（triangular）行列式的值，是主对角线上的元素之值的乘积。
行（列）的拆开：

$$ \begin{align*} &\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{u1} + b_{u1} & a_{u2} + b_{u2} & \cdots & a_{uN} + b_{uN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} \\ = & \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{u1} & a_{u2} & \cdots & a_{uN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{u1} & b_{u2} & \cdots & b_{uN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{vmatrix} \end{align*} $$

证明思路：利用定义。

$$ \begin{align*} &\ \sum_{p_1, p_2, \cdots, p_N} (-1)^{R(p_1p_2\cdots p_N)} a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots (a_{up_u} + b_{up_u}) \cdots a_{Np_N} \\ = & \ \sum_{p_1, p_2, \cdots, p_N} (-1)^{R(p_1p_2\cdots p_N)} a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{up_u} \cdots a_{Np_N} \\ + & \ \sum_{p_1, p_2, \cdots, p_N} (-1)^{R(p_1p_2\cdots p_N)} a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots b_{up_u} \cdots a_{Np_N}

\end{align*} $$
行（列）的转移：把行列式某一行（列）所有元素同乘一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

证明思路：结果进行拆开之后，同乘后加过来的那部分因为有两行成比例，为 $0$。

<aside> 📌 范德蒙德行列式，但此页面内容不足以证明之，因为没有「行列式展开」的内容。

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_N \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_N^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{N-1} & a_2^{N-1} & \cdots & a_N^{N-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le N} (a_i - a_j) $$

</aside>

⭐ 四、克拉默法则（Cramer’s Rule）：N×N 线性方程组的求解

一个 N×N 线性方程组（linear equations）如下：

$$ \left\{\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1N} x_N &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2N} x_N &= b_2 \\ & \ \ \vdots \\ a_{N1} x_1 + a_{N2} x_2 + \cdots + a_{NN} x_N &= b_N \\ \end{align*}\right. \\

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{bmatrix} \\

\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol b $$