一、向量组及其线性相关性

1. 矩阵与向量组的对应关系

$N$ 维空间中一组 $M$ 个向量 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_M$，可以一列列地摆成一个 $N \times M$ 矩阵 $\boldsymbol A$，称此向量组为矩阵 $\boldsymbol A$ 表示的列向量组。

2. 向量组线性表出向量（外部关系）

设 $N$ 维空间中一组 $M$ 个向量 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_M$，新给出一个向量 $\boldsymbol \beta$，如果存在一组 $M$ 个实数 $k_1, k_2, \cdots, k_M$ 使得 $\boldsymbol \beta = k_1\boldsymbol \alpha_1 + k_2\boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_M\boldsymbol \alpha_M$，称 $\boldsymbol \beta$ 能由此向量组线性表出。

如果此向量组用对应矩阵 $\boldsymbol A$ 表示，上式可以写为：

$$ \boldsymbol \beta = \boldsymbol A \boldsymbol k $$

这就对应上一个线性方程组问题。根据解的情况我们可以知道，给定 $\boldsymbol A, \boldsymbol \beta$ 时：

• 有的不能表出（即 $\boldsymbol k$ 无解）；
• 有的能以唯一方式表出（即 $\boldsymbol k$ 有唯一解）；
• 有的能以无穷多种方式表出（即 $\boldsymbol k$ 有无穷种解）。

3. 向量组的线性相关/无关性（内部关系）

设 $N$ 维空间中一组 $M$ 个向量 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_M$，如果存在一组 $M$ 个实数 $k_1, k_2, \cdots, k_M$（且不同时为 $0$）使得 $\boldsymbol 0 = k_1\boldsymbol \alpha_1 + k_2\boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_M\boldsymbol \alpha_M$，称此向量组线性相关；否则线性无关。

如果此向量组用对应矩阵 $\boldsymbol A$ 表示，上式可以写为：

$$ \boldsymbol 0 = \boldsymbol A\boldsymbol k $$

这就对应一个齐次线性方程组有无非零解的问题。根据解的情况我们可以知道，给定 $\boldsymbol A$ 时：

• 有的线性无关（linear independent）（即 $\boldsymbol k$ 没有非零解）；
• 有的线性相关（linear dependent）（即 $\boldsymbol k$ 有非零解，并且一有肯定是无穷多个，因为至少对于 $\lambda\boldsymbol k$ 也成立）。
• 内部、外部关系的联系：
  1. 向量组是线性相关的 $\Leftrightarrow$ 向量组中至少有一个向量能被其它的向量线性表出（易证）。
  2. 一个向量组本来线性无关，但是加了一个向量之后线性相关 $\Rightarrow$ 此向量能被其他向量唯一表出（证略）。

4. 线性相关性的转移定理

• **零向量定理：**如果存在零向量，向量组一定定线性相关。
• **交换定理：**行（维度）或列（序列）发生交换，相关性不变。
• **扩充/缩减（序列方向）定理：**扩充前相关，扩充后必相关；缩减前无关，缩减后必无关（易证）。
• **接长/截短（维度方向）定理：**接长前无关，接长后必无关；截短前相关，截短后必相关。
  • 因为维度多了/少了。