一、向量、共线、共面、坐标系

1. 线性运算

**线性运算：**加减法、数乘。

• 当两向量起点重合时，向量减法的几何表示，是减数的终点指向被减数的终点。
• $|\lambda \boldsymbol \alpha| = |\lambda|\cdot |\boldsymbol \alpha|$。

2. 共线（平行）定理、共面定理

• **共线（平行）定理：**两向量 $\boldsymbol \alpha , \boldsymbol \beta$ 共线（平行） $\Leftrightarrow$ 存在不全为零的数 $\lambda, \mu$，使得 $\lambda \boldsymbol \alpha + \mu \boldsymbol \beta = \boldsymbol 0$。
  • 如果 $\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta$ 均不为 $\boldsymbol 0$ ， 可以表示为 $\boldsymbol \beta = \lambda \boldsymbol \alpha$。
• **共面定理：**三向量 $\boldsymbol \alpha , \boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma$ 共面 $\Leftrightarrow$ 存在不全为零的数 $\lambda, \mu, \eta$，使得 $\lambda \boldsymbol \alpha + \mu \boldsymbol \beta + \eta \boldsymbol \gamma = \boldsymbol 0$。

  • 推论：如两向量 $\boldsymbol \alpha , \boldsymbol \beta$ 不共线、三向量 $\boldsymbol \alpha , \boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma$ 共面，则存在不全为零的数 $\lambda, \mu$，使得：

    $$ \boldsymbol \gamma = \lambda \boldsymbol \alpha + \mu \boldsymbol \beta $$

3. 坐标系（coordinate system）

• （二维）平面直角坐标系：四个象限（quadrant）

• （三维）空间直角坐标系：八个卦限（octant）

  

• 径向量/向径/径矢（radius vector）位置矢量/位矢（position vector）

二、N 维向量的模长、方向角

1. 模长、欧式距离

勾股定理可知坐标形式。两个位置间的欧式距离可以定义为位矢之差的模长。

$$ \|\boldsymbol r\| = \sqrt{\sum_{i=1}^N r_i^2}, \ \ \ \|\boldsymbol p - \boldsymbol q\| = \sqrt{\sum_{i=1}^N (p_i - q_i)^2} $$

如果是行向量 $\boldsymbol x$，可以定义模长 $\|\boldsymbol x\|^2 = {\boldsymbol x^{\rm T} \boldsymbol x}$。

模长的性质：

• 非负性、三角不等式（$\| \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta \| \le \| \boldsymbol \alpha\| + \| \boldsymbol \beta \|$）

2. 方向角与方向余弦

• 夹角的定义：记两个非零向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v$ 间 $[0, \pi]$ 范围的夹角为他们之间的夹角 $\phi = \langle \widehat {\boldsymbol u, \boldsymbol v }\rangle$。
• 方向角、方向余弦的定义：定义与某坐标轴单位向量 $\hat {\boldsymbol e}_i$ 形成的夹角为方向角 $\alpha_i$，$\cos \alpha_i$ 为方向余弦。