高阶逻辑（广义的谓词逻辑）：
一阶逻辑，谓词变元的主目（对象）目前只用于个体变元，如果它能用于命题变元和谓词变元，那么便构成高阶逻辑。
eg. 数学归纳法： 对于任何公式F(x)：头符合、可递推，便搞起来。
$\forall F((F(0) \wedge \forall x(F(x)\rightarrow F(x+1)))\rightarrow \forall x (F(x)))$
合式公式：
引入函数，$f, g, h, ...$ 。自变量与因变量都属于 $D$ 的映射，或者应该说 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 是 $D^n$ 到 $D$ 上的映射。
原子公式：
形如 $A(x_1, x_2, \cdots x_n)$ 的式子为谓词运算的原子（谓词）公式。
合式公式（谓词公式）：
原子公式以 $\neg, \vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow , (), \forall x, \exists x$ 构成的公式。
<aside> 📌 符号化
① 指定这只、那些的时候，应该用常项了。
②极限的定义
$P(x, y): x>y, \ \ \ Q(x, y): x < y$
$(\forall \epsilon)(\exists \delta)(\forall x) (((P(\epsilon, 0) \rightarrow P(\delta , 0)) \wedge Q(|x-a|, \delta) \wedge P(|x-a|, 0)) \rightarrow Q(|f(x)-A|, \epsilon))$
</aside>
$\forall xA, \exist xA$ 这类东西，称 $x$ 为指导变项，$A$ 为量词的辖域（作用域）。作用域中$x$ 的所有出现称为约束出现的（约束变项），其他非受量词约束的变项为自由出现的（自由变项）。
eg. $(\forall x)(F(x) \rightarrow G(x, y)) \wedge H(x, y)$，有约束x、自由x、自由y三个范畴的事物。
如约束变项和自由变项命名冲突，为了看起来方便，要么换掉约束项名字（换名规则），要么换掉自由项名字（代替规则）。
设 $A$ 为任意一个公式，若 $A$ 中无自由变项，则称 $A$ 为闭式，是命题。若 $A$ 有未被约束的自由变项，则 $A$ 可以看成它们的函数 $A(x_1, x_2, \cdots x_n)$。
一个解释要用非空个体域 $D$ 范畴下，一些特定的元素、函数、谓词来描述。
eg. $\forall x(F(x) \wedge G(x, a))$ ，如下解释$I$（注意0, 1是在表示真假哦）：
$D=\{2, 3\}, \ \ a = 2, \ \ F:F(2)=0, F(3)=1, \ \ G:G(i, j)\equiv 1, \ \ i=2, \ \ j=3$
$A \Leftrightarrow \forall x(F(x) \wedge G(x, 2)) \Leftrightarrow (F(2) \wedge G(2, 2)) \wedge (F(3) \wedge G(3, 2)) \Leftrightarrow (0\wedge1)\wedge(1\wedge1) \Leftrightarrow 0$
结果是假的，也就是式子$A$在解释$I$下是假的。
谓词公式在任意解释下的永真、永假、可满足性，其判断相当于解决宇宙问题。
不过仍然，特殊情况下可以有一些规律。
就是说把谓词公式的列表 $A_i$ 往命题公式的 $q_i$ 里挨个代。
永真式的代换实例仍为永真式（因为无论怎样结果都是真的啊），永假仍永假。
其余的判断，就构造几个解释说它可真可假，相当于构造几个命题变项的取值。
e.g. $\forall x(F(x)) \rightarrow (\exists x\exists y(G(x, y)) \rightarrow \forall x(F(x)))$ 即 $p \rightarrow (q \rightarrow p)$ ，它永真。
