凡是人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 $p \wedge q \rightarrow r$ 通过命题无法判断其永真性，需要抽离出命题的成分、结构和逻辑关系，总结出正确的推理结构和形式。
可以独立存在的客体称为个体词。用来刻画个体词性质或个体词之间关系的词称为谓词。
个体常项：$a, b, c$ ；个体变项： $x, y, z$ ； 个体域： $D$ （如果不提，为全总个体域指代万物）。
谓词： $F, G, H$ 。
一元谓词： $x$ 具有性质 $F$ ，表示为 $F(x)$。
二元谓词： $x, y$ 具有关系 $F$ ，表示为 $F(x,y)$ 。 eg. 小李 比 小赵 高2厘米。
零元谓词：就是命题，能判断真假的陈述句。
复习：命题函数不一定是命题， 因为命题变项不确定。每代入一个变项为常项，就会少一个未知量（元的数目）
<aside> 📌 符号化：
F(x): x是素数。 a:2。 F(a) 为零元谓词。
F(x, y): x大于y。 a:2, b:3, c:4。 L(a, b) → L(a, c) 为零元谓词（命题）。
</aside>
量词：
所有： $\forall$ 。存在： $\exists$ 。
<aside> 📌 符号化：
D = 人类集合。F(x)：x是要死的。G(x)：能活到百岁以上。
$\forall x(F(x)) \ \ \ \ \ \ \ \ \exists x(G(x))$
如果 D 是全总个体域，则必须引入特性谓词，M(x)：x是人。
$\forall x (M(x) \rightarrow F(x)) \ \ \ \ \ \ \exists x (M(x) \wedge G(x))$
</aside>
$n$ 元谓词转换为命题，至少需要 $n$ 个量词。
若个体域为有限集合 $D = \{a_1, a_2, \cdots a_n\}$ ，则：
$\forall x (F(x)) \Leftrightarrow F(a_1) \wedge F(a_2) \wedge \cdots \wedge F(a_n)$；
$\exists x (F(x)) \Leftrightarrow F(a_1) \vee F(a_2) \vee \cdots \vee F(a_n)$
伪代码实现判断。
量词构成的结构：
多个量词出现时，不能随意改变顺序。
$\forall x(\exists y (F(x, y))), \ \ \ \ \ F(x, y): x + y = 5$
例子：
eg. 没有不吃饭的人===人都是要吃饭的。 M(x): x是人。 F(x): x需要吃饭。
$\neg \exists x(M(x) \wedge \neg F(x)) \Leftrightarrow \forall x(M(x) \rightarrow F(x))$
eg. 素数不全是奇数===存在偶素数。 F(x): x是素数。G(x): x是奇数。
$\neg \forall x(F(x) \rightarrow G(x)) \Leftrightarrow \exists x(F(x) \wedge \neg G(x))$
二元谓词的例子：
eg. 所有人都不一样高。M(x): x是人。 H(x, y): x ≠ y（记得引入），F(x, y): x和y一样高。
$\neg \exists x \exists y (M(x) \wedge M(y) \wedge H(x, y) \wedge F(x, y))$
即 $\forall x \forall y((M(x) \wedge M(y) \wedge H(x, y)) \rightarrow \neg F(x, y))$
eg. 每个自然数都有后继自然数。M(x): x是自然数， F(x, y): y是x的后继数。
$\forall x (M(x) \rightarrow \exists y (M(y) \wedge F(x, y)))$
也可以写成 $\forall x \exists y (M(x) \rightarrow (M(y) \wedge F(x, y)))$
eg. 兔子比乌龟跑得快。 F(x): x是兔子。 G(y): y是乌龟。 H(x, y): x比y跑得快。
$\forall x \forall y ((F(x) \wedge G(y))\rightarrow H(x, y))$
也可以写成 $\forall x(F(x) \rightarrow \forall y(G(y) \rightarrow H(x, y)))$
eg. 有的兔子比所有乌龟跑得快。
$\exists x(F(x) \wedge \forall y(G(y) \rightarrow H(x, y)))$
也可以写成 $\exists x \forall y (F(x) \wedge (G(y) \rightarrow H(x, y)))$