一、平面曲率

• 对于由函数给出的曲线 $y = f(x)$，平面曲率 $\kappa$ 通过以下公式计算：

$$ \kappa = \frac {\left|\frac {{\rm d}^2 y}{{\rm d} x^2}\right|}{\left(1 + \left(\frac {{\rm d} y}{{\rm d} x}\right)^2\right)^{\frac 3 2}} $$

• 如果用参数 $\boldsymbol r(t) = [x(t), y(t)]^{\rm T}$ 表示曲线，平面曲率 $\kappa$ 通过以下公式计算：

  $$ \kappa = \frac {\left|\frac {{\rm d}^2 y}{{\rm d} t^2} \frac {{\rm d}^2 x}{{\rm d} t} - \frac {{\rm d}^2 x}{{\rm d} t^2} \frac {{\rm d}^2 y}{{\rm d} t}\right|}{\left(\left(\frac {{\rm d} x}{{\rm d} t}\right)^2 + \left(\frac {{\rm d} y}{{\rm d} t}\right)^2\right)^{\frac 3 2}} $$

二、空间曲率

• 对于参数 $\boldsymbol r(t) = [x(t), y(t), z(t)]^{\rm T}$ 表示的曲线，空间曲率 $\kappa$（标量版本）通过以下公式计算：

  $$ \kappa = \frac {|\frac {{\rm d}^2 \boldsymbol r}{{\rm d} t^2} \times \frac {{\rm d} \boldsymbol r}{{\rm d} t}|}{|\frac {{\rm d} \boldsymbol r}{{\rm d} t}|^3} $$