如果存在 $q \in \Z$ 使得 $a=qb$，那么称 $a$ 是 $b$ 的倍数 (Multiple)、$b$ 是 $a$ 的因数（约数，Divisor/Factor），称 $a$ 能被 $b$ 整除（$a$ is divisible by $b$，记作 $b \mid a$）。否则，称 $a$ 不能被 $b$ 整除，记作 $b \nmid a$。
如果是存在多个整除关系，在本笔记中直接简写为 $b \mid (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 或者是 $(b_1, b_2, \cdots, b_n) \mid a$。
<aside> <img src="/icons/warning_gray.svg" alt="/icons/warning_gray.svg" width="40px" />
请注意术语区别
本笔记中 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 是简单的整数组记号，后面会介绍的最大公因数 (GCD) 记号是显式写出 ${\rm GCD} (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 的。有的书可能将 GCD 直接记为 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$，请留意不同记法间的区别。
</aside>
**【恒整除式】**设 $a, b \in \Z$ 且 $b \neq 0$，有如下恒成立的整除式：
**证：**都能从定义导出。
- $a=0$ 时存在 $q=0$ 使得 $a = qb$（$0=0$）。
- $b=1$ 时存在 $q = a$ 使得 $a = qb$（$a=a$）。
- $a=b$ 时存在 $q=1$ 使得 $a = qb$（$a=a$）。
【因数是成对的】$b \mid a \Leftrightarrow -b \mid a$（因数总是成对出现）。
证：
- $\Rightarrow$：设 $q \in \Z$ 使得 $a=qb$，那么 $a = (-q)(-b)$，这里 $(-q) \in \Z$ 且 $-b \neq 0$。
- $\Leftarrow$：设 $q \in \Z$ 使得 $a=q(-b)$，那么 $a = (-q)b$，这里 $(-q) \in \Z$ 且 $b \neq 0$。
【推论】$b \mid a \Leftrightarrow (|b|) \mid a$。
证：
- 当 $b \ge 0$，$|b| = b$ 自然有等价成立。
- 当 $b < 0$，$|b| = -b$ 根据定理也有等价成立。
- 综上，原命题总成立。
**【整除的大小性质】**对于 $a, b \in \Z$ 且 $a, b \neq 0$，如果 $b \mid a$，那么：
$$ -|a| \le b \le |a| \Leftrightarrow |b| \le |a| $$
证明：
先证这个定理：对于 $a, b \in \Z$ 且 $a, b \neq 0$，如果 $b \mid a$，那么 $b \le |a|$。
证明：
- 如果 $b < 0$：因为 $|a| > 0$，$b \le |a|$ 必然成立。
- 如果 $b > 0$：假如 $b > |a|$，且设 $q \in \Z$ 使得 $a=qb$，无论怎样都会引出矛盾：
- 如果 $a > 0$，$b > |a|$ 即 $b > a$：
- 如果 $q \le 0$，$qb \le 0$，但 $a > 0$，与 $a=qb$ 矛盾。
- 如果 $q \ge 1$，有 $qb \ge b > a$ 一定成立，与 $a=qb$ 矛盾。
- 如果 $a < 0$，$b > |a|$ 即 $b > -a$：
- 如果 $q \ge 0$，$qb \ge 0$，但 $a < 0$，与 $a=qb$ 矛盾。
- 如果 $q \le -1$，有 $qb \le -b < a$ 一定成立，与 $a=qb$ 矛盾。
因为 $b \mid a$ 也能推出 $-b \mid a$，那么 $-b \le |a|$，加上上面的 $b \le |a|$ 就是 $-|a| \le b \le |a|$。
然后证这个定理：$\forall x, y \in \R$ 和 $x \ge 0$ 都有 $-x \le y \le x \Leftrightarrow |y| \le x$。
证明：
- $\Rightarrow$：$-x \le y \le x$ 可推出 $-x \le -y \le x$ 。因而：
- $y < 0$ 时 $|y|=-y \le x$ 成立；
- $y \ge 0$ 时 $|y|=y \le x$ 成立。
- $\Leftarrow$：$|y| \le x$，有：
- $y < 0$ 时 $-y = |y| \le x$ 得 $y \ge -x$，还自然有 $y < 0 \le x$，有 $-x \le y \le x$ 成立；
- $y \ge 0$ 时 $y = |y| \le x$，还自然有 $y \ge 0 \ge -x$，有 $-x \le y \le x$ 成立；
【因数集合的定义】任意整数 $a \in \Z$ 的因数集合 ${\rm Div} \, a$ 定义为：${\rm }$
$$ \begin{align*}
{\rm Div} \, a &= \{ b\in \Z, \, b \neq 0 \, | \, (b \mid a) \} \\
&= \{ b \in \Z, \, b \neq 0 \, | \, (\exists \, q \in \Z, \, a=qb) \}
\end{align*} $$
【常用的因数集合】
${\rm Div} \, 0 = \Z \backslash \{ 0 \}$。
证：
- $\supseteq$：设 $b \in \Z, \, b \neq 0$，显然存在 $q=0$ 使得 $0 = qb$，因而 $b \mid 0$。
- $\subseteq$：设 $b \in \Z, \, b \neq 0$ 且 $b \mid 0$，马上就有 $b \in \Z \backslash \{ 0 \}$。
${\rm Div} \, 1 = \{ -1, +1 \}$。
证：
- $\supseteq$：$1 \mid 1$ 恒成立，根据因数是成对的也有 $-1 \mid 1$。
- $\subseteq$：设 $b \in \Z, \, b \neq 0$ 且 $b \mid 1$，存在 $q \in \Z$ 使得 $1 = qb$。两边取绝对值有 $|q||b| = 1$。
- 当然 $q \neq 0$，否则 $qb=0$ 与 $qb=1$ 矛盾。
- 设 $|b| > 1$，有 $|q||b| > |q|\ge 1$ 即 $|q||b| > 1$，与 $|q||b| = 1$ 矛盾。
- 因而只能有 $b\in \{ -1, +1 \}$。
当 $a =0$，这时 ${\rm Div} \, a = \Z \backslash \{ 0 \}$，是无穷集。
证：$\forall \, b \in \Z$ 且 $b \neq 0$ 都有 $b \mid 0$。
当 $a \neq 0$，这时可证明 ${\rm Div} \, a$ 大小不超过 $2|a|$，是有穷集。
**证：**任何 $b \in {\rm Div} \, a$ 都满足 $-|a| \le b \le |a|$ 且 $b \in \Z, \, b \neq 0$。因而：
$$ \begin{align*}
{\rm Div} \, a &\subseteq ([-|a|, |a|] \cap \Z ) \backslash \{0\} \\
|{\rm Div} \, a| &\le |([-|a|, |a|] \cap \Z ) \backslash \{0\}| = 2|a|
\end{align*} $$
如果 $b \in {\rm Div} \, a$，那么 $-b \in {\rm Div} \, a$。
**证：**根据因数的成对性质立得。
${\rm Div} \, a = {\rm Div} \, (-a)$。
证：$\forall \, b \in \Z, \, b \neq 0$，$b \mid a \Leftrightarrow b \mid -a$（根据下面「倍数的线性性质」）。