线性方程组（linear system of equations）。

一、齐次（homogeneous）线性方程组

1. 齐次线性方程组的形式

$$ \begin{cases}

a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1C} x_C = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2C} x_C = 0 \\ \vdots \\ a_{R1} x_1 + a_{R2} x_2 + \cdots + a_{RC} x_C = 0 \\

\end{cases} $$

$$ \boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0 $$

$$ x_1\boldsymbol \alpha_1 + x_2\boldsymbol \alpha_2 + \cdots + x_C\boldsymbol \alpha_C = \boldsymbol 0 $$

2. 齐次线性方程组解的情况

最后一种表达比较本质，即试图找到让向量组 $A$ 线性组合成 $\boldsymbol 0$ 的系数，就是在问 $A$ 是线性无关还是线性相关。显然：

• 向量组线性无关 $\Leftrightarrow$ $r(\boldsymbol A) = C$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 只有零解。
• 向量组线性相关 $\Leftrightarrow$ $r(\boldsymbol A) < C$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 有非零解。

3. 齐次线性方程组的解空间（解的构成）

考察解集合 $S$ 的性质，容易知道：

• 如果 $\boldsymbol \xi \in S$，那么 $k \boldsymbol \xi \in S$；
• 如果 $\boldsymbol \xi _1, \boldsymbol \xi _2 \in S$，那么 $\boldsymbol \xi _1 + \boldsymbol \xi _2 \in S$。

说明解全体的集合一定构成向量空间，称为解空间（solution space）。只有零解即解空间为零空间。

解空间的秩（自由度）：$r(S) = C-r(\boldsymbol A)$。

• 请理解：矩阵 $\boldsymbol A$ 的秩越高，解空间 $S$ 的自由度越低。矩阵 $\boldsymbol A$ 秩从 $C$ 开始每降低 1，解空间 $S$ 的自由度从 $0$ 开始就增加 1。

**解空间的基础解系：**解空间的一组基底称为基础解系。

4. 齐次线性方程组的求解流程

因为对矩阵 $\boldsymbol A$ 的初等行变换相当于对方程的变换（考察交换、数乘、加等等操作），因而变为行最简形矩阵即可得到解。如下例：

请注意上面 ${\rm r}(\boldsymbol A) = 2$，因而 ${\rm r}(S) = 5 - 2 = 3$。

顺带一提，这个基础解系，因为维度的后半部分分别是 1,0,0 / 0,1,0 / 0,0,1，根据向量组线性无关性的「接长仍无关」定理，所以是无关的。

二、非齐次（nonhomogeneous）线性方程组